Теорема косинусів та її доказ

Кожен з нас багато годин просидів над вирішенням тієї чи іншої задачі з геометрії. Звичайно, виникає питання, навіщо взагалі потрібно вчити математику? Питання особливо актуальне для геометрії, знання якої якщо і прігождаются, то дуже рідко. Але у математики є призначення і для тих, хто не збирається ставати працівником точних наук. Вона змушує людину працювати і розвиватися.

Первісним призначенням математики була не наділення учнів знаннями про предмет. Вчителі ставили собі за мету навчити дітей мислити, міркувати, аналізувати й аргументувати. Саме це ми і знаходимо в геометрії з її численними аксіомами і теоремами, наслідками і доказами.

Теорема косинусів

Одночасно з тригонометричними функціями і нерівностями алгебри починають вивчати кути, їх значення і знаходження. Теорема косинусів є однією з перших формул, яка пов'язує в розумінні учня обидві сторони математичної науки.

Для знаходження сторони по двох інших і куту між ними застосовується теорема косинусів. Для трикутника з прямим кутом нам підійде і теорема Піфагора, але якщо говорити про довільної фігурі, то вона тут застосована бути не може.

Теорема косинусів виглядає наступним чином:

АС ²= АВ ²+ ВС ²- 2 * АВ * НД * cos<?АВС

Квадрат одного боку дорівнює сумі двох інших сторін, взятих в квадраті, мінус їх твір, помножене на два і на косинус кута, ними утвореного.

Якщо подивитися більш уважно, то дана формула нагадує теорему Піфагора. Дійсно, якщо взяти кут між катетами рівним 90, то значення його косинуса буде 0. У результаті залишиться тільки сума квадратів сторін, що й відображає теорема Піфагора.

Теорема косинусів: Доказ

З даного виразу виводимо формулу АС ² і отримуємо:

АС ² = ВС ² + АВ ² - 2 * АВ * НД * cos <?АВС

Таким чином, бачимо, що вираз відповідає наведеній вище формулі, що свідчить про її істинності. Можна сказати, що теорема косинусів доведена. Вона використовується для всіх видів трикутників.

Використання

Крім уроків з математики та фізики, дана теорема широко використовується в архітектурі та будівництві, для обчислення необхідних сторін і кутів. З її допомогою визначають необхідні розміри споруди і кількість матеріалів, які будуть потрібні для її зведення. Звичайно, більшість процесів, які раніше вимагали безпосереднього людського участі і знань, автоматизовані на сьогоднішній день. Існує величезна кількість програм, які дозволяють моделювати подібні проекти на комп'ютері. Їх програмування також здійснюється з урахуванням всіх математичних законів, властивостей і формул.

D