Основи математичного аналізу. Як знайти похідну?

Похідною деякої функції f (x) в конкретній точці x0 називають межу співвідношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що x прямує до 0, а межа існує. Похідну зазвичай позначають штрихом, іноді за допомогою точки або через диференціал. Нерідко запис производно через кордон призводить в оману, тому що таке подання використовується вкрай рідко.

Функцію, яка має похідну в певній точці x0, прийнято називати дифференцируемой в такій точці. Припустимо, D1 - безліч точок, в яких функція f диференційована. Поставивши у відповідність кожному числу число x, що належить D f '(x), одержимо функцію з областю позначення D1. Ця функція є похідною y = f (x). Її позначають так: f '(x).

Крім того, похідна широко використовується у фізиці і техніці. Розглянемо найпростіший приклад. Матеріальна точка рухається по координатній прямо, при чому заданий закон руху, тобто координатою x цієї точки є відома функція x (t). Протягом інтервалу часу від t0 до t0 + t переміщення точки дорівнює x (t0 + t) -x (t0) = x, а її середня швидкість v (t) дорівнює x / t.

Іноді характер руху представлений так, що при малих відрізках часу середня швидкість не змінюється, мається на увазі те, що рух з більшим ступенем точності вважається рівномірним. Або ж значення середньої швидкості, якщо t0 слід до деякого абсолютно точному значенню, яке і називають моментальної швидкістю v (t0) цієї точки в конкретний момент часу t0. Вважається, що моментальна швидкість v (t) відома для будь диференційованої функції x (t), при чому v (t) дорівнюватиме x '(t). Простіше кажучи, швидкість - це похідна від координати за часом.

Миттєва швидкість має і позитивні, і негативні значення, а також значення 0. Якщо ж вона на деякому інтервалі часу (t1- t2) позитивна, тоді точка рухається в такому ж напрямку, тобто координата x (t) збільшується з часом, а якщо v (t) негативна, тоді координата x (t) зменшується.

У більш складних випадках точка рухається в площині або в просторі. Тоді швидкість - векторна величина і визначає кожну з координат вектора v (t).

Аналогічно можна зіставити з прискоренням руху точки. Швидкість є функцією від часу, тобто v = v (t). А похідна такої функції - прискоренням руху: a = v '(t). Тобто виходить, що похідна від швидкості за часом є прискоренням.

Припустимо y = f (x) - будь-яка диференційована функція. Тоді можна розглянути рух матеріальної точки по координатної прямої, яке відбувається за законом x = f (t). Механічне зміст похідної дає можливість представити наочну інтерпретацію теорем диференціального обчислення.

Як знайти похідну? Знаходження похідної деякої функції називається її дифференцированием.

Наведемо приклади того, як знайти похідну функцію:

Похідна постійної функції дорівнює нулю- похідна функції y = x дорівнює одиниці.

А як знайти похідну дроби? Для цього розглянемо наступний матеріал:

При будь-якому x0<>0 матимемо

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Існує кілька правил, як знайти похідну. А саме:

Якщо функції A і B диференційовані в точці x0, то їх сума диференційована в точці: (A + B) '= A' + B '. Простіше кажучи, похідна суми дорівнює сумі похідних. Якщо функція диференційована в деякій точці, тоді її приріст слід до нуля при прямуванні до нуля приросту аргументу.

Якщо функції A і B диференційовані в точці x0, то їх добуток диференційовано в точці: (A * B) '= A'B + AB'. (Значення функцій та їх похідних розраховуються в точці x0). Якщо функція A (x) диференційована в точці x0, а С - постійна, тоді функція CA диференційована в цій точці і (CA) '= CA'. Тобто, такий постійний множник виноситься за знак похідної.

Якщо функції A і B диференційовані в точці x0, і функція B не дорівнює нулю, то їх співвідношення так само диференційовано в точці: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.