Подвійний інтеграл. Завдання. Властивості

Поставимо задачу. Нехай в деякій замкнутій області задана функція двох змінних, при чому задана функція безперервна. Так як область обмежена, то можна помістити її в будь прямокутник, який повністю містить в собі властивості точки заданої області. Розіб'ємо прямокутник на рівні частини. Назвемо діаметром розбиття найбільшу діагональ з вийшов прямокутників. Виберемо тепер в межах одного такого прямокутника точку. Якщо знайти значення в цій точці скласти суму, тоді така сума буде називатися інтегральної для функції в заданій області. Знайдемо кордон такий інтегральної суми, за умов, що діаметр розбиття слід до 0, а кількість прямокутників - до нескінченності. Якщо така межа існує і не залежить від способу розбиття області на прямокутники і від вибору точки, тоді вона називається - подвійний інтеграл.

Геометричний зміст подвійного інтеграла: подвійний інтеграл числівників дорівнює обсягу тіла, яке було описано в задачі 2.

Знаючи подвійний інтеграл (визначення), можна встановити такі властивості:

1. Постійну можна виносити за знак інтеграла.
2. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
3. З функцій менше буде та, подвійний інтеграл якої менше.
4. Модуль можна вносити під знак подвійного інтеграла.