Як знайти площу ромба?

Як знайти площу ромба? Щоб дати відповідь, спочатку слід розібратися, що ми вважаємо ромбом.

По-перше, це чотирикутник. По-друге, він має всі чотири рівні сторони. По-третє, його діагоналі в точці перетину перпендикулярні. По-четверте, ці діагоналі точкою перетину поділяються на рівні частини. По-п'яте, ці ж діагоналі поділяють кути ромба на дві рівні частини. По-шосте, в сумі два кути, які прилягають до однієї зі сторін, становлять розгорнутий кут, тобто 180 градусів. А якщо говорити просто, то ромб - це скошений квадрат.

Якщо взяти квадрат, сторони якого скріплені рухомо, і легко потягнути його за два протилежних кута, то квадрат втратить свою прямоугольность і перетвориться на ромб. Тому ромб з прямими кутами - це і є справжнісінький квадрат.

Першими запровадили поняття про ромбі Герої і Папп Олександрійський, математики Стародавньої Греції. Слово «ромб» з грецької можна перекласти як «бубон».

Щоб знайти площа ромба, варто врахувати, що ромб - це паралелограм. А площа паралелограма можна знайти, перемноживши між собою підставу, тобто сторону, і висоту.

Для доказу цього положення, слід опустити з вершин верхніх кутів ромба перпендикуляри. Наприклад, дано ромб QWER. З вершин верхніх кутів Q і W опущені перпендикуляри QT і WY. Причому перпендикуляр QT опуститься на сторону RE, а перпендикуляр WY опиниться на продовженні цієї сторони.

Таким чином, вийшов новий чотирикутник QWYT з паралельними сторонами і прямими кутами, який, виходячи зі сказаного, можна хоробро назвати прямокутником.

Площа цього прямокутника знаходиться перемножением сторони і висоти. Тепер нам потрібно довести, що площа отриманого прямокутника за площею відповідає даному умовою ромбу.

Розглядаючи отримані при додатковому побудові трикутники QYR і WET, можна сказати, що вони рівні за катету і гіпотенузі. Адже катетами в трикутниках є проведені перпендикуляри, які в той же час є і сторонами отриманого прямокутника. А гіпотенузи - це сторони ромба.

Ромб складається з суми площі трикутника QYR і трапеції QYEW. Отриманий прямокутник складається з тієї ж трапеції QYEW і трикутника WET, площа якого дорівнює значенню площі трикутника QYR. Звідси сам собою напрошується висновок: значення площі ромба QWER відповідає значенню площі прямокутника QWYT.

Тепер стає зрозумілим, як знайти площу ромба по стороні і його висоті: їх потрібно перемножити.

Можна знайти площу ромба, знаючи кут ромба і сторону. Потрібно тільки дізнатися, чому дорівнює синус кута, і помножити його на подвоєну сторону. Знайти синус можна за допомогою калькулятора або по таблиці Брадіса.

Іноді, кажучи про те, як знайти площу ромба, використовують синус кута і радіус вписаного в нього кола, яка обов'язково є максимальною.

Однак найчастіше вираховують площа ромба через діагоналі. З цієї формули випливає, що площа дорівнює полупроізведенію діагоналей.

Довести це досить просто, розглянувши два трикутника QWE і ERQ, які вийшли при проведенні в ромбі однієї діагоналі. Ці трикутники рівні за трьома сторонам або по підставі і двом прилеглим кутах.

Провівши в ромбі другий діагональ, ми отримаємо висоти в цих трикутниках, так як діагоналі перетинаються в точці X під кутом в 90 градусів. Площа трикутника QWE дорівнює добутку QE, що є однією діагоналлю, на WX - половину другої діагоналі, діленому на два.

Тепер на питання, як знайти площу ромба, відповідь ясна: отриманий вираз слід збільшити вдвічі. Для зручності алгебраїчного приведення цього виразу можна одну діагональ позначити буквою z, а другий - буквою u. Отримуємо:

2 (z Х 1 / 2u: 2) = z Х 1 / 2u, що якраз і виходить - полупроізведеніе діагоналей.