Як виводиться похідна косинуса
Похідна косинуса знаходиться за аналогією з похідною синуса, основа докази? визначення границі функції. Можна скористатися іншим способом, використовуючи тригонометричні формули приведення для косинуса і синуса кутів. Висловити одну функцію через іншу - косинус через синус, і продифференцировать синус зі складним аргументом.
Похідна косинуса
Розглянемо перший приклад виведення формули (Cos (х)) '
Даємо мізерно малий приріст Delta-х аргументу х функції у = Cos (х). При новому значенні аргументу х + Delta-х отримуємо нове значення функції Cos (х + Delta-х). Тоді приріст функції Delta-у дорівнюватиме Cos (х + Delta-x) -Cos (x).
Ставлення ж приросту функції до Delta-х буде таким: (Cos (х + Delta-x) -Cos (x)) / Delta-х. Проведемо тотожні перетворення в чисельнику вийшла дробу. Згадаймо формулу різниці косинусів кутів, результатом буде твір -2Sin (Delta-х / 2) помножити на Sin (х + Delta-х / 2). Знаходимо межа приватного lim цього твору на Delta-х при Delta-х, що прямує до нуля. Відомо, що перший (його називають чудовим) межа lim (Sin (Delta-х / 2) / (Delta-х / 2)) дорівнює 1, а межа -Sin (х + Delta-х / 2) дорівнює -Sin (x ) при Delta-x, що прагне до нуля.
Запишемо результат: похідна (Cos (х)) 'дорівнює - Sin (х).
Деяким більше подобається другий спосіб виведення тієї ж формули
З курсу тригонометрії відомо: Cos (х) дорівнює Sin (0,5middot-prod - х), аналогічно Sin (х) дорівнює Cos (0,5middot-prod - x). Тоді диференціюємо складну функцію - синус додаткового кута (замість косинуса ікс).
Отримаємо твір Cos (0,5middot-prod - х) middot- (0,5middot-prod - х) ', бо похідна синуса х дорівнює косинусу х. Звертаємося до другої формулою Sin (х) = Cos (0,5middot-prod - x) заміни косинуса на синус, враховуємо, що (0,5middot-prod - х) '= -1. Тепер отримуємо -Sin (x).
Отже, знайдена похідна косинуса, у '= -Sin (х) для функції у = Cos (х).
Похідна косинуса в квадраті
Похідна косинуса в квадраті
Часто використовуваний приклад, де вживається похідна косинуса. Функція y = Cos2(X) складна. Знаходимо спочатку диференціал статечної функції з показником 2, це буде 2middot-Cos (x), потім множимо його на похідну (Cos (x)) ', яка дорівнює -Sin (х). Отримуємо y '= -2middot-Cos (х) middot-Sin (x). Коли застосуємо формулу Sin (2middot-х), синуса подвійного кута, отримаємо остаточний спрощений
відповідь y '= -Sin (2middot-х)
Гіперболічні функції
Застосовуються при вивченні багатьох технічних дисциплін: в математиці, наприклад, полегшують обчислення інтегралів, рішення диференціальних рівнянь. Висловлюються вони через тригонометричні функції з уявним аргументом, так, гіперболічний косинус ch (х) = Cos (imiddot-х), де i? уявна одиниця, гіперболічний синус sh (x) = Sin (imiddot-x).
Похідна гіперболічного косинуса обчислюється досить просто.
Розглянемо функцію у = (ex+e-x) / 2, це і є гіперболічний косинус ch (х). Використовуємо правило знаходження похідної суми двох виразів, правило виносу постійного множника (Const) за знак похідної. Другий доданок 0,5middot-е-х ? складна функція (її похідна дорівнює -0,5middot-е-х), 0,5middot-ех? перший доданок. (Ch (х)) '= ((eх+e-x) / 2) 'можна записати інакше: (0,5middot-eх+0,5middot-е-х) '= 0,5middot-eх-0,5middot-e-х, тому що похідна (e-x) 'Дорівнює -1, умнноженная на e-x. Вийшла різниця, а це є гіперболічний синус sh (x).
Висновок: (ch (х)) '= sh (x).
Рассмітрім на прикладі, як обчислити похідну функції у = ch (x3+1).
За правилом диференціювання гіперболічного косинуса зі складним аргументом у '= sh (x3+1) middot- (x3+1) ', де (x3+1) '= 3middot-x2+0.
Відповідь: похідна даної функції дорівнює 3middot-х2middot-sh (х3+1).
Похідні розглянутих функцій у = ch (х) і y = Cos (х) табличні
При вирішенні прикладів немає необхідності щораз диференціювати їх за запропонованою схемою, досить використовувати висновок.
Приклад. Продифференцировать функцію у = Cos (x) + Cos2(-x) -Ch (5middot-х).
Легко обчислити (скористаємося табличними даними), у '= -Sin (x) + Sin (2middot-х) -5middot-Sh (5middot-х).