Диференціальні рівняння - загальна інформація та сфера застосування

Вивчаючи явища природи, вирішуючи всілякі завдання з економіки, біології, фізики, техніці, не завжди є можливість безпосередньо встановити прямий зв'язок між якимись значеннями, які описують той чи інший еволюційний процес. Як правило, можна визначити зв'язок між цими величинами (функціями) і швидкістю їх зміни по відношенню до інших (незалежним) змінним. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції стоять під знаком похідної - це диференціальні рівняння. На їхнє дослідження витратили чимало часу безліч відомих учених: Ньютон, Бернуллі, Лаплас та інші. Застосування диференціальних рівнянь досить широко: в моделях економічної динаміки, де відображаються не тільки залежність змінних в часі, але і їх взаємозв'язок з часом, в задачах мікро- і макроекономікі- з їх допомогою описують поширення електромагнітних і теплових хвиль і різні еволюційні явища, які відбуваються в живій і неживій природі.

За допомогою електромагнітних хвиль передається інформація на відстані (телебачення, телефон, радіо тощо). Сучасна макроекономіка широко використовує диференціальні і різницеві рівняння. Наприклад, в макроекономіці використовується так зване основне ДУ неокласичної теорії економічного росту. Диференціальні рівняння також застосовуються в біології, хімії, автоматиці та інших спеціальних дисциплінах. На малюнку показаний графік функції, яка застосовується при розгляді підвищення зростання населення. Цю задачу вирішують за допомогою дистанційного керування.

Отже, тепер побільше теорії. Звичайним диференціальним рівнянням називають нетотожні співвідношення між шуканої функцією Y з одним незалежним аргументом Х, самої незалежної змінної Х і похідними шуканої функції деякого порядку. Існує безліч видів диференціальних рівнянь, докладніше про які далі в статті.

Диференціальні рівняння бувають:

1) Звичайні рівняння І-го порядку, які інтегруються в квадратах. Ці, в свою чергу, поділяються на: диференціальні рівняння з відокремлюваними переменнимі- ДУ з відокремленими переменнимі- однорідні Ду- лінійні Ду- рівняння в повних диференціалах.

2) ДУ вищих порядків.

3) Лінійні ДУ ІІ-го порядку, які бувають лінійними однорідними ДУ ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтами і лінійними неоднорідними ДУ з постійними коефіцієнтами.

Вирішуються ДУ також декількома способами, найбільш поширені з яких - задача Коші, методи Ейлера і Бернуллі та інші.

У багатьох завданнях економіки, математики, техніки необхідно вирахувати деяку кількість функцій, пов'язаних між собою деякою кількістю ДУ. Тоді нам на допомогу приходять системи диференціальних рівнянь: сукупність рівнянь, в кожне з яких входять незалежна змінна, функції цієї незалежної та їх похідні.

Системи диференціальних рівнянь

Якщо система лінійна відносно невідомих функцій, то вона називається лінійною системою диференціальних рівнянь. Нормальну систему диференціальних рівнянь можна замінити одним ДУ, порядок якого дорівнює кількості рівнянь системи.

Перетворення системи ДУ до одного рівняння в деяких випадках відбувається за допомогою методу виключення.

Крім усього перерахованого вище, існують і лінійні системи з постійними коефіцієнтами, які легко вирішуються за методом Ейлера.