Похідна синуса кута дорівнює косинусу того ж кута

Дана найпростіша функція тригонометрії у = Sin (х), вона диференційована в кожній своїй точці з усієї області визначення. Необхідно довести, що похідна синуса будь-якого аргументу дорівнює косинусу того ж кута, тобто у '= Cos (х).

Доказ грунтується на визначенні похідної функції

Задамо х (довільне) в деякій малій околиці Delta-х конкретної точки х₀. Покажемо значення функції в ній і в точці х, щоб знайти прирощення заданої функції. Якщо Delta-х? приріст аргументу, то новий аргумент - це х₀+Delta-x = х, значення даної функції при заданому значенні аргументу у (х) дорівнює Sin (х₀+Delta-x), значення функції в конкретній точці в (х₀) Теж відомо.

Тепер маємо Delta-у = Sin (х₀+Delta-х) -Sin (х₀)? отримане приріст функції.

За формулою синуса суми двох неоднакових кутів будемо перетворювати різниця Delta-у.

Delta-у = Sin (х₀) Middot-Cos (Delta-х) + Cos (х₀) Middot-Sin (Delta-x) мінус Sin (х₀) = (Cos (Delta-x) -1) middot-Sin (х₀) + Cos (х₀) Middot-Sin (Delta-х).

Виконали перестановку доданків, згрупували перший з третім Sin (х₀), Винесли загальний множник - синус - за дужки. Отримали у виразі різниця Cos (Delta-х) -1. Залишилося змінити знак перед дужкою і в дужках. Знаючи, чому одно 1-Cos (Delta-х), зробимо заміну і отримаємо спрощене вираз Delta-у, яке потім розділимо на Delta-х.
Delta-у / Delta-х буде мати вигляд: Cos (х₀) Middot-Sin (Delta-х) / Delta-х-2middot-Sin²(0,5middot-Delta-х) middot-Sin (х₀) / Delta-х. Це і є відношення приросту функції до допущеному приросту аргументу.

Залишилося знайти межа отриманого нами відносини lim при Delta-х, що прагне до нуля.

Похідна від синуса

Відомо, що межа Sin (Delta-х) / Delta-x дорівнює 1, при даному умови. А вираз 2middot-Sin²(0,5middot-Delta-х) / Delta-х в отриманому приватному підведемо перетвореннями до твору, який містить в якості множника перший чудовий межа: чисельник і знеменатель дробу розділимо на 2, квадрат синуса замінимо твором. Ось так:
(Sin (0,5middot-Delta-x) / (0,5middot- Delta-x)) middot-Sin (Delta-x / 2).
Межа цього виразу при Delta-х, що прямує до нуля, буде дорівнює числу нуль (1 помножити на 0). Виходить, що межа відносини Delta-y / Delta-х дорівнює Cos (х₀) Middot-1-0, це і є Cos (х₀), Вираз, який не залежить від Delta-х, що прагне до 0. Звідси випливає висновок: похідна синуса будь-якого кута х дорівнює косинусу х, запишемо так: у '= Cos (х).

Отримана формула занесена в відому таблицю похідних, де зібрані всі елементарні функції

Похідна синуса в квадраті

При вирішенні завдань, де зустрічається похідна синуса, можна користуватися правилами диференціювання і готовими формулами з таблиці. Наприклад: знайти похідну найпростішої функції у = 3middot-Sin (х) -15. Скористаємося елементарними правилами диференціювання, виносу числового множника за знак похідної, і обчислення похідної постійного числа (вона дорівнює нулю). Застосуємо табличне значення похідної синуса кута х, рівне Cos (х). Отримуємо відповідь: y '= 3middot-Cos (x) -O. Ця похідна, в свою чергу, теж є елементарною функцією у = Зmiddot-Cos (х).

Похідна синуса в квадраті від будь-якого аргументу

При обчисленні цього виразу (Sin²(Х)) 'необхідно згадати, як диференціюється складна функція. Отже, у = Sin²(Х)? є ступеневою функцією, оскільки синус в квадраті. Аргументом її є теж тригонометрическая функція, складний аргумент. Результат в цьому випадку дорівнює добутку, перший множник якого похідна квадрата даного складного аргументу, а другий? похідна від синуса. Ось як виглядає правило диференціювання функції від функції: (u (v (х))) 'дорівнює (u (v (х)))' middot- (v (х)) '. Вираз v (х)? складний аргумент (внутрішня функція). Якщо дана функція "ігрек дорівнює синусу в квадраті х", то похідна цієї складної функції буде у '= 2middot-Sin (х) middot-Cos (x). У творі перший подвоєний множник? похідна відомої статечної функції, а Cos (х)? похідна синуса, аргументу складної квадратичної функції. Остаточний результат можна перетворити, скориставшись тригонометричної формулою синуса подвійного кута. Відповідь: похідна дорівнює Sin (2middot-x). Ця формула легко запам'ятовується, нею часто користуються як табличній.