Екстремуми функції - простою мовою про складне

Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов'язково знати про наявність першої та другої похідної і розуміти їх фізичний зміст. Для початку потрібно усвідомити таке:

• екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення функції в як завгодно малої окрестності;
• в точці екстремуму не повинно бути розриву функції.

екстремуми функції

А тепер те ж саме, тільки простою мовою. Подивіться на кінчик стрижня кулькової ручки. Якщо ручку розташувати вертикально, пишучим кінцем вгору, то сама середина кульки буде екстремумів - найвищою точкою. У цьому випадку говорять про максимум. Тепер, якщо повернути ручку пишучим кінцем вниз, то на серединці кульки вже буде мінімум функції. За допомогою малюнка, наведеного тут же, можна уявити перераховані маніпуляції для канцелярського олівця. Отже, екстремуми функції - це завжди критичні точки: її максимуми або мінімуми. Прилеглу ділянку графіка може бути як завгодно гострим або плавним, але він повинен існувати з обох сторін, тільки в цьому випадку точка є екстремумів. Якщо графік присутній лише з одного боку, точка ця екстремумів бути не буде навіть у тому випадку, якщо з одного її боку умови екстремуму виконуються. Тепер вивчимо екстремуми функції з наукової точки зору. Щоб точка могла вважатися екстремумів, необхідно і достатньо, щоб:

• перша похідна дорівнювала нулю або не існувала в точке;
• перша похідна змінювала свій знак в цій точці.

точки екстремуму функції

Умова трактується дещо інакше з точки зору похідних більш високого порядку: для функції, що диференціюється в точці, достатньо, щоб існувала похідна непарного порядку, нерівна нулю, при тому, що всі похідні більш нижчого порядку повинні існувати і бути рівними нулю. Це максимально просте тлумачення теорем з підручників вищої математики. Але для самих звичайних людей варто пояснити цей момент прикладом. За основу береться звичайна парабола. Відразу обмовимося, в нульовій точці у неї є мінімум. Зовсім небагато математики:

• перша похідна (X²)^| = 2X, для нульової точки 2Х = 0;
• друга похідна (2Х)^| = 2, для нульової точки 2 = 2.

екстремуми функції двох змінних

Таким нехитрим чином проілюстровані умови, що визначають екстремуми функції і для похідних першого порядку, і для похідних вищого порядку. Можна до цього додати, що друга похідна якраз є тією самою похідною непарного порядку, нерівної нулю, про яку йшлося трохи вище. Коли мова заходить про екстремуми функції двох змінних, то умови повинні виконуватися для обох аргументів. Коли відбувається узагальнення, то в хід йдуть приватні похідні. Тобто необхідно для наявності екстремуму в точці, щоб обидві похідні першого порядку дорівнювали нулю, або хоча б одна з них не існувала. Для достатності наявності екстремуму досліджується вираз, що представляє собою різницю твори похідних другого порядку і квадрата змішаної похідної другого порядку функції. Якщо цей вислів більше нуля, значить, екстремум має місце бути, а якщо присутній рівність нулю, то питання залишається відкритим, і потрібно проводити додаткові дослідження.