Силові лінії електричного поля. Введення
Розрізняють поля скалярні і векторні (у нашому випадку векторним полем буде електричне). Відповідно, вони моделюються скалярними або векторними функціями координат, а також часом.
Скалярний поле описується функцією виду phi-. Такі поля можна наочно відобразити за допомогою поверхонь однакового рівня: phi- (x, y, z) = c, c = const.
Визначимо вектор, який направлений у бік максимального зростання функції phi-.
Абсолютне значення цього вектора визначає швидкість зміни функції phi-.
Очевидно, що скалярний поле породжує векторне поле.
Таке електричне поле називають потенційним, а функція phi- називається потенціалом. Поверхні однакового рівня називають еквіпотенціальними поверхнями. Для прикладу розглянемо електричне поле.
Для наочного відображення полів будують так звані силові лінії електричного поля. Ще їх називають векторними лініями. Це лінії, дотична до яких в точці вказує напрямок електричного поля. Кількість ліній, які проходять через одиничну поверхню, пропорційно абсолютним значенням вектора.
Введемо поняття векторного диференціала уздовж деякої лінії l. Цей вектор направлений по дотичній до лінії l і за абсолютним значенням дорівнює диференціалу dl.
Нехай задано деякий електричне поле, яке потрібно представити як силові лінії поля. Іншими словами, визначимо коефіцієнт розтягування (стиснення) k вектора, щоб він збігався з диференціалом. Прирівнюючи компоненти диференціала і вектора, одержимо систему рівнянь. Після інтегрування можна побудувати рівняння силових ліній.
У векторному аналізі є операції, які дають інформацію про те, які силові лінії електричного поля мають місце в конкретному випадку. Введемо поняття «потік вектора» на поверхні S. Формальне визначення потоку Ф має наступний вигляд: величина, розглядається як твір звичайного диференціала ds на орт нормалі до поверхні s. Орт вибирається так, щоб він визначав зовнішню нормаль поверхні.
Можна провести аналогію між поняттям потоку поля й потоку речовини: речовина за одиницю часу проходить через поверхню, яка в свою чергу перпендикулярна напрямку потоку поля. Якщо силові лінії електростатичного поля виходять з поверхні S назовні, тоді потік є позитивним, а якщо не виходять - негативним. У загальному випадку потік можна оцінити числом силових ліній, що виходять з поверхні. З іншого боку, величина потоку пропорційна числу силових ліній, які пронизують елемент поверхні.
Дивергенція векторної функції розраховується в точці, околишем якої є обсяг Delta-V. S - поверхня, що охоплює обсяг Delta-V. Операція дивергенції дозволяє характеризувати точки простору на наявність у ньому джерел поля. При стисненні поверхні S в точку P силові лінії електричного поля, що пронизують поверхню, залишаться в тій же кількості. Якщо точка простору не є джерелом поля (витоком або стоком), то при стисненні поверхні в цю точку сума силових ліній, починаючи з деякого моменту, дорівнює нулю (кількість ліній, що входять в поверхню S дорівнює кількості ліній, що виходять з цієї поверхні).
Інтеграл по замкнутому контуру L у визначенні операції ротора називається циркуляцією електрики по контуру L. Операція ротора характеризує поле в точці простору. Напрямок ротора визначає величину замкнутого потоку поля навколо даної точки (ротор характеризирует вихор поля) і його напрямок. Грунтуючись на визначення ротора, шляхом нескладних перетворень можна розрахувати проекції вектора електрики в декартовій системі координат, а також силові лінії електричного поля.