Метод кінцевих елементів - універсальний спосіб вирішення диференціальних рівнянь

У сучасній науці існує безліч підходів для побудови кількісної математичної моделі будь-якої системи. І одним з них прийнято вважати метод кінцевих елементів, в основі якого лежить встановлення поведінки диференційного (нескінченно малого) її елемента, базуючись на передбачуваному співвідношенні між основними елементами, які здатні дати повну характеристику цій системі. Таким чином, дана методика використовує при описі системи диференціальні рівняння.

Теоретичні аспекти

Теоретичні методи очолює метод кінцевих різниць, який є родоначальником даної серії інструментів обчислення і досить широко використовується. У методах скінченних різниць особливу привабливість становить їх застосування до будь-яких диференціальних рівнянь. Однак через громіздкість і важкою програмованість обліку граничних умов в задачі існують деякі обмеження в застосуванні даних методик. Точність рішення залежить від рівня сітки, якою визначаються вузлові точки. Тому при вирішенні задач такого типу часто доводиться розглядати системи алгебраїчних рівнянь вищого порядку.

Метод кінцевих елементів - підхід, який досяг дуже високого рівня точності. І сьогодні багато вчених відзначають, що на сучасному етапі відсутня аналогічний метод, здатний дати такі ж результати. Метод кінцевих елементів має широкий діапазон застосовності, його ефективність і легкість, з якою враховуються фактичні граничні умови, дозволяють стати серйозним суперником для будь-якого іншого методу. Однак, крім зазначених переваг, йому характерні і деякі недоліки. Наприклад, він представлений схемою дискретизації, що неминуче тягне за собою використання великої кількості елементів. Особливо якщо мова йде про тривимірних задачах, які мають віддалені кордону, і в межах кожної з них по всіх невідомим змінним простежується безперервність.

Альтернативний підхід

В якості альтернативи деякими вченими пропонується використання аналітичного інтегрування системи диференціальних рівнянь іншим способом або шляхом введення деякої апроксимації. У будь-якому випадку, який би метод не застосовувався, в першу чергу має бути проінтегрувати диференціальне рівняння. В якості першого етапу рішення задачі необхідно перетворити диференціальні рівняння в систему інтегральних аналогів. Зазначена операція дозволяє отримати систему рівнянь, що має значення в межах конкретної області.

Ще одним альтернативним підходом є метод граничних елементів, розвиток яких побудовано на ідеї інтегральних рівнянь. Зазначений метод широко застосовується без доказів єдиності в кожному окремому рішенні, завдяки чому він стає дуже популярним і реалізується з використанням комп'ютерних технологій.

Область застосування

Метод кінцевих елементів досить успішно використовується в поєднанні з іншими чисельними методами в змішаному формулюванні. Таке комбінування дозволяє розширити область його застосування.