Математична модель: етапи проектування
З середини минулого століття в різні області діяльності людини почали входити ЕОМ і математичні методи. Стали з'являтися нові дисципліни такі, як математична економіка, математична лінгвістика, математична хімія та інші, предметом вивчення яких були математичні моделі явищ і об'єктів, а також методи їх дослідження.
Математична модель - це приблизний опис на математичній мові об'єктів або явищ реального світу. Основною метою моделювання виступає дослідження даних об'єктів та прогнозування результатів майбутніх спостережень. Крім цього моделювання є і методом пізнання навколишнього середовища, світу, який дає можливість управління.
Використання математичного моделювання незамінне у випадках, коли з різних причин важко або неможливо зробити натуральний експеримент. Наприклад, складно перевірити, чи вірна та чи інша космологічна теорія, або вивчити наслідки ядерного вибуху. Але все це можна побачити на комп'ютері, попередньо побудувавши математичну модель.
Математична модель: етапи проектування
По-перше, проводиться побудова моделі. Для цього розглядають деякий явище природи, економічний план, конструкцію, виробничий процес або інший нематематичні об'єкт. Спочатку визначають особливості явищ і зв'язки між ними на якісному рівні. Далі отримані залежності переводять у формульний вигляд або будується математична модель. Дана стадія є найскладнішою.
На другому етапі виконують рішення математичної задачі, сформульованої на підставі моделі. Тут підвищену увагу приділяють розробці чисельних методів і алгоритмів вирішення задачі за допомогою ЕОМ, які дозволяють отримати за допустимий час результат з необхідною точністю.
На наступному етапі необхідна інтерпретація випливають з моделі наслідків, переклад результатів з математичної мови в вид, прийнятий у досліджуваній області.
Потім здійснюють перевірку адекватності отриманої моделі, з'ясовують, чи відповідають результати следствиям в межах заданої точності.
На заключному етапі виробляють модифікацію моделі. Її або ускладнюють для більшої адекватності дійсності або спрощують, щоб досягти прийнятного практичного вирішення.
Класифікація математичних моделей
Існують різні критерії для поділу математичних моделей на групи. Так, за характером вирішуваних проблем виробляють поділ на структурні і функціональні моделі. При цьому характеризують об'єкт або явище величини виражаються кількісно.
Структурна математична модель представляється у вигляді системи різного типу рівнянь (алгебраїчних, диференціальних), які встановлюють між досліджуваними величинами кількісні залежності. При цьому розглядають як величин як незалежні змінні, так і функції, утворені від них.
Функціональні моделі характеризують складні об'єкти, що складаються з декількох окремих елементів, між якими встановлені деякі зв'язки. Зазвичай дані зв'язку складно або неможливо виміряти кількісно. Для їх вивчення використовують теорію графів, математичних об'єктів, які представляють безліч точок в просторі або на площині.
За характером результатів прогнозування та вихідних даних моделі поділяють на імовірнісні статичні та детерміновані. Перший вид заснований на зібраних статистичних даних, а отримані з їх допомогою прогнози носять імовірнісний характер.
До прикладів математичних моделей можна віднести завдання на політ снаряда, транспортні та інші завдання.