Абсолютна і відносна похибка

За будь-яких вимірах, округленні результатів розрахунків, виконанні досить складних підрахунків неминуче виникає те чи інше відхилення. Для оцінки такої неточності прийнято використовувати два показники - це абсолютна і відносна похибка.

Якщо від точного значення числа відняти отриманий результат, то ми отримаємо абсолютне відхилення (причому при підрахунку від більшого числа віднімають меншу). Наприклад, якщо округлити 1370 до 1400, то абсолютна похибка дорівнюватиме 1400-1382 = 18. При округленні до 1380, абсолютне відхилення складе 1382-1380 = 2. Формула абсолютної похибки має вигляд:

Delta-x = | x * - x |, тут

x * - істинне значення,

x - наближена величина.

Втім, для характеристики точності одного цього показника явно недостатньо. Судіть самі, якщо похибка ваги складає 0,2 грама, то при зважуванні хімреактивів для мікросінтеза це буде дуже багато, при зважуванні 200 грам ковбаси цілком нормально, а при вимірюванні ваги залізничного вагона вона і зовсім може бути не помічена. Тому часто разом з абсолютною вказується або розраховується також відносна похибка. Формула даного показника виглядає так:

delta-x = Delta-x / | x * |.

Розглянемо приклад. Нехай загальне число учнів школи одно 196. Округлимо цю величину до 200.

Абсолютне відхилення складе 200 - 196 = 4. Відносна похибка становитиме 4/196 або округлено, 4/196 = 2%.

Таким чином, якщо відомо справжнє значення якоїсь величини, то відносною похибкою прийнятого наближеного значення є ставлення абсолютного відхилення наближеною величини до точного значення. Однак у більшості випадків виявити істинне точне значення дуже проблематично, а часом і зовсім неможливо. І, отже, не можна розрахувати точний значення похибки. Тим не менш, завжди можна визначити деяке число, яке завжди буде трохи більше, ніж максимальна абсолютна або відносна похибка.

Наприклад, продавець зважує диню на чашкових вагах. При цьому найменша гиря дорівнює 50 грамам. Ваги показали 2000 грам. Це приблизне значення. Точна вага дині невідомий. Однак ми знаємо, що абсолютна похибка не може бути більше 50 грам. Тоді відносна похибка вимірювання ваги не перевершує 50/2000 = 2,5%.

Значення, яке спочатку більше абсолютної похибки або в найгіршому випадку їй рівне, прийнято називати граничною абсолютною похибкою або ж кордоном абсолютної похибки. У попередньому прикладі цей показник дорівнює 50 грамам. Аналогічним чином визначається і гранична відносна похибка, яка в розглянутому вище прикладі склала 2,5%.

Значення граничної похибки не є строго заданим. Так, замість 50 грам ми цілком могли б взяти будь-яке число, більше ніж вага найменшої гирі, скажімо 100 г або 150 г. Однак на практиці вибирається мінімальне значення. А якщо його вдається точно визначити, то воно і буде одночасно служити граничної похибкою.

Буває так, що абсолютна гранична похибка не вказана. Тоді слід вважати, що вона дорівнює половині одиниці останнього зазначеного розряду (якщо це число) або мінімальної одиниці поділу (якщо інструмент). Наприклад, для міліметрової лінійки цей параметр дорівнює 0,5 мм, а для наближеного числа 3,65 абсолютне граничне відхилення дорівнює 0,005.