Повне дослідження функції та диференціальне числення

Отримавши великі знання в роботі з функціями, ми озброїлися достатнім набором інструменту, який дозволяє провести повне дослідження конкретно заданої математично закономірності у вигляді формули (функції). Звичайно, можна було б піти найбільш простим, але копіткою шляхом. Приміром, задатися кордонами аргументу, вибрати інтервал, обчислити на ньому значення функції і побудувати графік. При наявності потужних сучасних комп'ютерних систем це завдання вирішується за лічені секунди. Але прибрати зі свого арсеналу повне дослідження функції математики не поспішають, оскільки саме цими методами можна провести оцінку правильності роботи комп'ютерних систем у вирішенні подібних завдань. При механічному побудові графіка ми не можемо гарантувати точність заданого вище інтервалу у виборі аргументу.

І лише після того, як проведено повне дослідження функції, можна бути впевненим, що враховані всі нюанси «поведінки» такої не на вибірковому інтервалі, а на всьому діапазоні аргументу.

Для вирішення найрізноманітніших завдань в галузях фізики, математики і техніки виникає необхідність провести дослідження функціональної залежності між змінними, які беруть участь у розглянутому явищі. Останнє, задане аналітично однієї або набором з декількох формул, дозволяє проводити дослідження методами математичної аналітики.

Провести повне дослідження функції - це з'ясувати і визначити ділянки, на яких вона зростає (убуває), де досягає максимуму (мінімуму), а також інші особливості її графіка.

Є певні схеми, за якими проводиться повне дослідження функції. Приклади переліків проводяться математичних досліджень зводяться до знаходження практично однакових моментів. Приблизний план аналізу передбачає проведення наступних досліджень:

— знаходимо область визначення функції, досліджуємо поведінку в межах її граніц-

— здійснюємо знаходження точок розриву з класифікацією за допомогою односторонніх пределов-

— проводимо визначення асімптот-

— знаходимо точки екстремуму та інтервали монотонності-

— виробляємо визначення точок перегину, інтервалів угнутості і випуклості-

— здійснюємо побудова графіка на основі отриманих в ході дослідження результатів.

При розгляді тільки деяких пунктів цього плану варто відзначити, що диференціальне числення виявилося досить вдалим інструментом для дослідження функції. Є досить нескладні зв'язки, що існують між поведінкою функції та особливостями її похідної. Для вирішення цього завдання цілком достатньо обчислити першу і другу похідну.

Розглянемо порядок знаходження інтервалів убування, зростання функції, вони ще отримали ім'я інтервалів монотонності.

Для цього досить визначити знак першої похідної на певному відрізку. Якщо вона на відрізку постійно більше нуля, то можна сміливо судити про монотонному зростанні функції в цьому діапазоні, і навпаки. Негативні значення першої похідної характеризують функцію як монотонно спадну.

За допомогою обчисленої похідною визначаємо ділянки графіка, іменовані виступами, а також увігнутою функції. Доведено, що якщо в ході розрахунків отримали похідну функції безперервну і негативну, то це свідчить про опуклості, безперервність другої похідної і її позитивне значення свідчить про угнутості графіка.

Знаходження моменту, коли відбувається зміна знака у другій похідній або ділянок, де вона не існує, свідчить про визначення точки перегину. Саме вона є граничною на інтервалах опуклості і угнутості.

Повне дослідження функції не закінчується на вищевказаних моментах, але використання диференціального обчислення значно спрощує це процес. При цьому результати аналізу мають максимальну ступінь достовірності, що дозволяє будувати графік, повністю відповідний властивостям досліджуваних функцій.