Вирішуємо квадратні рівняння і будуємо графіки

Квадратні рівняння є равенствами другого рівня з однією змінною. Вони відображають поведінку параболи на координатної площині. Шукані корені відображають точки, в яких графік перетинає вісь ОХ. За коефіцієнтами можна попередньо дізнатися певні якості параболи. Наприклад, якщо значення числа, що стоїть перед х², негативне, то гілки параболи будуть дивитися вгору. Крім цього, існує декілька хитрощів, за допомогою яких можна суттєво спростити рішення заданого рівняння.

Види квадратних рівнянь

У школі викладають кілька видів квадратних рівнянь. Залежно від цього розрізняють і способи їх рішень. Серед особливих типів можна виділити квадратні рівняння з параметром. Такий тип містить кілька змінних:

ах²+12х-3 = 0

Наступною варіацією можна назвати рівняння, в якому змінна представлена не одним числом, а цілим виразом:

21 (х + 13)²-17 (х + 13) -12 = 0

Варто врахувати, що це все є загальним видом квадратних рівнянь. Буває, вони подаються в такому форматі, при якому їх необхідно спочатку привести в порядок, розкласти на множники або спростити.

4 (х + 26)²-(-43х + 27) (7-х) = 4х

Принцип рішення

Квадратні рівняння вирішуються наступним способом:

1. При необхідності знаходиться область допустимих значень.
2. Рівняння наводиться у відповідний вигляд.
3. Знаходиться дискриминант за відповідною формулою: Д = b²-4ас.
4. У відповідності зі значенням дискримінанта робляться висновки щодо функції. Якщо Д> 0, то говорять, що рівняння має два різних кореня (при Д).
5. Після цього знаходять корені рівняння.
6. Далі (залежно від завдання) будують графік або знаходять значення в певній точці.

Квадратні рівняння: теорема Вієта та інші хитрощі

Кожному школяреві хочеться блиснути на уроках своїми знаннями, кмітливістю й уміннями. Під час вивчення квадратних рівнянь це можна зробити декількома способами.

У тому випадку, коли коефіцієнт а = 1, можна говорити про застосування теореми Вієта, згідно з якою сума коренів дорівнює значенню числа b, що стоїть перед х (зі знаком, протилежним наявного), а твір х₁ і х₂ прирівнюється с. Такі рівняння називаються наведеними.

х²-20х + 91 = 0,

х_{1 *}х₂= 91 і х₁+х₂= 20, => х₁= 13 і х₂= 7

Ще одним способом приємного спрощення математичної роботи є використання властивостей параметрів. Так, якщо сума всіх параметрів дорівнює 0, то отримуємо, що х₁= 1 і х₂= С / а.

17х²-7х-10 = 0

17-7-10 = 0, отже, корінь 1: х₁= 1, і корень2: х₂= -10 / 12

Якщо ж сума коефіцієнтів а і з дорівнює b, то х₁= -1 І, відповідно, х₂= -с / А

25х²+49х + 24 = 0

25 + 24 = 49, отже, х₁= -1 І х₂= -24 / 25

Такий підхід до вирішення квадратних рівнянь істотно спрощує процес обчислення, а також економить величезну кількість часу. Всі дії можна здійснювати в розумі, не витрачаючи при цьому дорогоцінні хвилини контрольної або перевірочної роботи на множення в стовпчик або використання калькулятора.

Квадратні рівняння служать сполучною ланкою між цифрами і координатної площиною. Щоб швидко і просто побудувати параболу відповідної функції, необхідно після знаходження її вершини провести вертикальну лінію, перпендикулярну осі х. Після цього кожну отриману точку можна дзеркально відображати щодо даної лінії, яка називається вісь симетрії.