Теорема Вієта і трохи історії

Теорема Вієта - це поняття знайоме зі шкільних часів практично кожному. Але «знайоме» чи воно насправді? Мало хто стикається з ним у повсякденному житті. Але й не всі ті, хто має справу з математикою, деколи повністю розуміють глибокий сенс і величезне значення цієї теореми.

Теорема Вієта в чому полегшує процес вирішення величезної кількості математичних задач, які в підсумку зводяться до вирішення квадратного рівняння:

ax2 + bx + c = 0, де аne-0.

Це стандартний вид квадратного рівняння. У більшості випадків квадратне рівняння має такі коефіцієнти a, b, і з, які можна легко спростити, розділивши їх на а. У цьому випадку ми прийдемо до виду квадратного рівняння, званому наведеним (коли перший коефіцієнт рівняння дорівнює 1):

x2 + px + q = 0

Саме для такого виду рівнянь і зручна у використанні теорема Вієта. Основним змістом теореми є те, що значення коренів наведеного кв.уравненія можна легко визначити усно, знаючи основне співвідношення теореми:

• сума коренів дорівнює числу, протилежного другий Коефіцієнт (тобто -p) ;
• добуток дорівнює третій коефіцієнту (тобто q).

А саме, x1 + x2 = -p і x1 * x2 = q.

Рішення більшості завдань в шкільному курсі математики зводиться до простих парам чисел, які легко знаходяться при володінні мінімальними навичками усних обчислень. І це не повинно викликати ніяких проблем. Існуюча зворотна теорема Вієта дозволяє за наявною парі чисел, які є країнами деякого квадратного рівняння, легко відновити його коефіцієнти і запис в стандартному вигляді.

Вміння використовувати теорему Вієта як інструмент, багато в чому полегшує вирішення математичних і фізичних задач у курсі середньої школи. Особливо цей навик незамінний при підготовці учнів старших класів до ЄДІ.

Зрозумівши значимість такого простого і дієвого математичного інструменту, мимоволі замислюєшся про людину, вперше його відкривав.

Франсуа Вієт - знаменитий французький вчений, який починав свою трудову діяльність як адвокат. Але, очевидно, математика була його покликанням. Перебуваючи на королівській службі в якості радника, він прославився тим, що зумів прочитати перехоплений зашифроване послання короля Іспанії до Нідерландів. Це давало французькому королю Генріху III можливість знати про всі наміри його супротивників.

Поступово долучаючись до математичних знань, Франсуа Вієт прийшов до висновку, що повинна існувати тісний зв'язок між новітніми у той час дослідженнями «алгебраїстів» і глибоким геометричним спадщиною древніх. У ході наукових пошуків їм була розроблена і сформульована практично вся елементарна алгебра. Він вперше ввів використання буквених величин в математичний апарат, чітко розмежувавши поняття: число, величина і їхні стосунки. Виет довів, що, виконуючи операції в символьному вигляді, можна вирішити завдання для загального випадку, практично для будь-яких значень заданих величин.

Його вишукування для вирішення рівнянь високих ступенів, ніж друга, вилилися в теорему, яка зараз відома, як узагальнена теорема Вієта. Вона має великий прикладне значення, і її застосування дає можливість швидкого розв'язання рівнянь більш високо порядку.

Одне з властивостей цієї теореми полягає в наступному: твір всіх коренів рівняння n-го ступеня одно його вільному члену. Ця властивість часто вживається при вирішенні рівнянь третього або четвертого ступеня з метою зниження порядку многочлена. Якщо у многочлена n-го ступеня є цілі коріння, то їх можна легко визначити методом простого підбору. І далі виконавши поділ многочлена на вираз (х-х1), отримаємо многочлен (n-1) -й ступеня.

Наприкінці хочеться відзначити, що теорема Вієта є однією з найбільш знаменитих теорем шкільного курсу алгебри. А його ім'я займає гідне місце серед імен великих математиків.