Площа трапеції

Слово трапеція використовується в геометрії для позначення чотирикутника, що характеризується певними властивостями. Крім того, воно має ще кілька значень. В архітектурі використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих широкими біля основи і звужуються до верху (в єгипетському стилі). У спорті - це гімнастичний снаряд, в моді - плаття, пальто або інший вид одягу певного крою і фасону.

Саме слово «трапеція» походить від грецького, в перекладі на російську мову означає «столик» або «стіл, їжа». У евклідової геометрії так називають опуклий чотирикутник, що має одна пару протилежних сторін, які обов'язково паралельні один одному. Слід згадати кілька визначень для того, щоб знайти площу трапеції. Паралельні сторони цього багатокутника називаються підставами, а дві інших - бічними. Висотою трапеції є відстань між основами. Середньою лінією прийнято вважати лінію, що сполучає середини сторін бічних. Всі ці поняття (підстави, висота, середня лінія і бічні сторони) є елементами багатокутника, що є окремим випадком чотирикутника.

Тому правомочним твердження, що площа трапеції може бути знайдена за формулою, призначеної для чотирикутника: S = frac12- • (a + b) • h. Тут S - це площа, a і b - це нижню і верхню снования, h - це висота, опущена з кутка, прилеглого до верхнього основи, перпендикулярно нижнього основи. Тобто S дорівнює половині твори суми підстав на висоту. Наприклад, якщо підстави трапеції - 6 і 2 мм, а її висота - 15 мм, то її площа буде дорівнює: S = frac12- • (6 + 2) • 15 = 60 ммsup2-.

Використовуючи відомі властивості цього чотирикутника, можна обчислити площу трапеції. В одному з важливих тверджень говориться, що середня лінія (позначимо її буквою micro-, а підстави буквами a і b) дорівнює половині суми підстав, яким вона завжди паралельна. Тобто micro- = frac12- (a + b). Таким чином, підставляючи у відому формулу обчислення S чотирикутника, середню лінію, можна записати формулу для розрахунку в іншому вигляді: S = micro- • h. Для випадку, коли середня лінія - 25 см, а висота - 15 см, площа трапеції дорівнює: S = 25 • 15 = 375 смsup2-.

Відповідно до відомого властивості багатокутника з двома паралельними сторонами, які є підставою, вписати коло з радіусом r в неї можна за умови, що сума підстав буде обов'язково дорівнювати сумі її бічних сторін. Якщо до того ж трапеція є рівнобедреної (тобто, рівні між собою її бічні сторони: c = d), а також відомий кут при основі alpha-, то можна знайти, чому дорівнює площа трапеції за формулою: S = 4rsup2- / sinalpha-, а для окремого випадку, коли alpha- = 30 °, S = 8rsup2-. Наприклад, якщо кут при одному з підстав дорівнює 30 °, і вписане коло з радіусом 5 дм, то площа такого багатокутника буде дорівнювати: S = 8 • 5sup2- = 200 дмsup2-.

Можна також знайти площу трапеції, розбивши її на фігури, обчисливши площа кожної і склавши ці значення. Це краще розглянути для трьох можливих варіантів:

1. Бічні сторони і кути при основі рівні. У цьому випадку трапецію прийнято називати рівнобедреної.
2. Якщо одна бічна сторона утворює прямі кути з підставами, тобто перпендикулярна їм, то така трапеція буде називатися прямокутної.
3. Чотирикутник, у якого паралельні дві сторони. У цьому випадку паралелограм може бути розглянутий, як окремий випадок.

Для рівнобедрений трапеції площа складається з суми двох однакових площ прямокутних трикутників S1 = S2 (висота їх дорівнює висоті трапеції h, а підстави трикутників половині різниці підстав трапеції frac12- [a - b]) і площі прямокутника S3 (одна сторона його дорівнює верхньому основи b, а інша - висоті h). З чого випливає, що площа трапеції S = S1 + S2 + S3 = frac14- (a - b) • h + frac14- (a - b) • h + (b • h) = frac12- (a - b) • h + (b • h). Для прямокутної трапеції площа складається з суми площ трикутника і чотирикутника: S = S1 + S3 = frac12- (a - b) • h + (b • h).

Криволінійна трапеція в даній статті не розглядалася, площа трапеції в цьому випадку обчислюють за допомогою інтегралів.