Прямокутний трикутник: поняття та властивості

Рішення геометричних задач вимагає величезної кількості знань. Одним з основоположних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.

Під цим поняттям мається на увазі геометрична фігура, що складається з трьох кутів і сторін, причому величина одного з кутів становить 90 градусів. Боку, складові прямий кут, носять назви катети, третя ж сторона, яка протіволежіт йому, носить назву гіпотенузи.

Якщо катети в такій фігурі рівні, вона називається рівнобедрений прямокутний трикутник. У цьому випадку має місце приналежність до двох видам трикутників, а значить, дотримуються властивості обох груп. Згадаймо, що кути біля основи рівнобедреного трикутника абсолютно завжди рівні, отже гострі кути такої фігури будуть включати по 45 градусів.

Наявність одного з наступних властивостей дозволяє стверджувати, що один прямокутний трикутник дорівнює іншому:

1. катети двох трикутників рівними
2. фігури мають однакові гіпотенузу і один з катетов;
3. дорівнюють гіпотенуза і будь-який з гострих углов;
4. дотримується умова рівності катета і гострого кута.

Площа прямокутного трикутника з легкістю обчислюється як за допомогою стандартних формул, так і як величина, що дорівнює половині твори його катетів.

У прямокутному трикутнику дотримуються наступні співвідношення:

1. катет є не що інше, як середнє пропорційне гіпотенузи і його проекції на неї;
2. якщо описати близько прямокутного трикутника коло, її центр буде знаходитися в середині гіпотенузи;
3. висота, проведена з прямого кута, є середнім пропорційне з проекціями катетів трикутника на його гіпотенузу.

Цікавим є те, що яким би не був прямокутний трикутник, властивості ці завжди дотримуються.

Теорема Піфагора

Крім вищезгаданих властивостей для прямокутних трикутників характерно дотримання наступного умови: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Теорема ця носить назву по імені її засновника - теорема Піфагора. Він відкрив це співвідношення, коли займався вивченням властивостей квадратів, побудованих на сторонах прямокутного трикутника.

Для доведення теореми побудуємо трикутник АВС, катети у якого позначимо a і b, а гіпотенузу с. Далі побудуємо два квадрата. У одного стороною буде гіпотенуза, в іншого сума двох катетів.

Тоді площа першого квадрата можна буде знайти двома способами: як суму площ чотирьох трикутників АВС і другого квадрата, або як квадрат боку, природно, що співвідношення ці будуть рівні. Тобто:

з² + 4 (ab / 2) = (a + b)², перетворимо вийшло вираз:

з²+2 ab = a² + b² + 2 ab

В результаті отримуємо: з² = A² + b²

Таким чином, геометрична фігура прямокутний трикутник відповідає не тільки всім властивостям, характерним для трикутників. Наявність прямого кута веде до того, що фігура володіє іншими унікальними співвідношеннями. Їх вивчення нагоді не тільки в науці, а й у повсякденному житті, так як така фігура, як прямокутний трикутник, зустрічається повсюдно.