Сума кутів трикутника. Теорема про суму кутів трикутника

Трикутник являє собою багатокутник, що має три сторони (три кути). Найчастіше сторони позначають маленькими літерами, відповідними заголовних букв, якими позначають протилежні вершини. У даній статті ми ознайомимося з видами цих геометричних фігур, теоремою, яка визначає, чому дорівнює сума кутів трикутника.

Види за величиною кутів

Розрізняють такі види багатокутника з трьома вершинами:

• гострокутий, у якого всі кути острие;
• прямокутний, що має один прямий кут, при цьому сторони, його утворюють, називають катетами, а сторона, яка розміщена протилежно прямого кута, називається гіпотенузой;
• тупоугольние, коли один кут тупой;
• рівнобедрений, у якого дві сторони рівні, і називаються вони бічними, а третя - підставою треугольніка;
• рівносторонній, що має всі три рівні сторони.

чому дорівнює сума трикутника

Властивості

Виділяють основні властивості, які характерні для кожного виду трикутника:

• навпроти більшої сторони завжди розташовується більший кут, і навпаки;
• навпроти рівних за величиною сторін знаходяться рівні кути, і навпаки;
• у будь-якого трикутника є два гострих угла;
• зовнішній кут більше порівняно з будь-яким внутрішнім кутом, що не суміжним з ним;
• сума будь-яких двох кутів завжди менше 180 градусів;
• зовнішній кут дорівнює сумі решти двох кутів, що не межуют з ним.

Теорема про суму кутів трикутника

Теорема стверджує, що якщо скласти всі кути даної геометричної фігури, яка розташована на евклідовій площині, то їх сума становитиме 180 градусів. Спробуємо довести дану теорему.

Нехай у нас є довільний трикутник з вершинами КМН. Через вершину М проведемо пряму паралельно прямій КН (ще цю пряму називають прямою Евкліда). На ній відзначимо точку А таким чином, щоб точки К і А були розташовані з різних сторін прямий МН. Ми отримуємо рівні кути АМН і КНМ, які, як і внутрішні, лежать навхрест і утворюються січною МН спільно з прямими КН і МА, які є паралельними. З цього випливає, що сума кутів трикутника, розташованих при вершинах М і Н, дорівнює розміру кута КМА. Всі три кути становлять суму, яка дорівнює сумі кутів КМА і МКН. Оскільки дані кути є внутрішніми односторонніми щодо паралельних прямих КН і МА при січної КМ, їх сума становить 180 градусів. Теорема доведена.

Слідство

З вище доведеної теореми випливає наступне наслідок: будь трикутник має два гострих кута. Щоб це довести, припустимо, що дана геометрична фігура має всього один гострий кут. Також можна припустити, що жоден з кутів не є гострим. У цьому випадку повинно бути як мінімум два кути, величина яких дорівнює або більше 90 градусів. Але тоді сума кутів буде більше, ніж 180 градусів. А такого бути не може, оскільки згідно теоремі сума кутів трикутника дорівнює 180 ° - не більше і не менше. Ось це і потрібно було довести.

Властивість зовнішніх кутів

Чому дорівнює сума кутів трикутника, які є зовнішніми? Відповідь на це питання можна отримати, застосувавши один із двох способів. Перший полягає в тому, що необхідно знайти суму кутів, які взяті по одному при кожній вершині, тобто трьох кутів. Другий увазі, що потрібно знайти суму всіх шести кутів при вершинах. Для початку розберемося з першим варіантом. Отже, трикутник містить шість зовнішніх кутів - при кожній вершині по два. Кожна пара має рівні між собою кути, оскільки вони є вертикальними:

L1 = L4, L2 = L5, L3 = L6.

Крім цього, відомо, що зовнішній кут у трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, котрі не межуются з ним. Отже,

L1 = LА + LС, L2 = LА + LВ, L3 = LВ + LС.

З цього виходить, що сума зовнішніх кутів, які взяті по одному біля кожної вершини, буде дорівнює:

L1 + L2 + L3 = LА + LС + LА + LВ + LВ + LС = 2 х (LА + LВ + LС).

З урахуванням того, що сума кутів дорівнює 180 градусам, можна стверджувати, що LА + LВ + LС = 180 °. А це означає, що L1 + L2 + L3 = 2 х 180 ° = 360 °. Якщо ж застосовується другий варіант, то сума шести кутів буде, відповідно, більшою в два рази. Тобто сума зовнішніх кутів трикутника становитиме:

L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 = 2 х (L1 + L2 + L2) = 720 °.

Прямокутний трикутник

Чому дорівнює сума кутів прямокутного трикутника, що є гострими? Відповідь на це питання, знову ж, випливає з теореми, яка стверджує, що кути в трикутнику в сумі складають 180 градусів. А звучить наше твердження (властивість) так: в прямокутному трикутнику гострі кути в сумі дають 90 градусів. Доведемо його правдивість. Нехай нам дано трикутник КМН, у якого LН = 90 °. Необхідно довести, що lк + LМ = 90 °.

Отже, згідно теоремі про суму кутів lк + LМ + LН = 180 °. У нашому умові сказано, що LН = 90 °. Ось і виходить, lк + LМ + 90 ° = 180 °. Тобто lк + LМ = 180 ° - 90 ° = 90 °. Саме це нам і слід було довести.

На додаток до вищеописаних властивостям прямокутного трикутника, можна додати й такі:

• кути, які лежать проти катетів, є остримі;
• гіпотенуза трикутні більше будь-якого з катетов;
• сума катетів більше гіпотенузи;
• катет трикутника, який лежить напроти кута 30 градусів, в два рази менше гіпотенузи, тобто дорівнює її половині.

Як ще одна властивість даної геометричної фігури можна виділити теорему Піфагора. Вона стверджує, що в трикутнику з кутом 90 градусів (прямокутному) сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

Сума кутів рівнобедреного трикутника

Раніше ми говорили, що рівнобедреним називають багатокутник із трьома вершинами, що містить дві рівні сторони. Відомо така властивість даної геометричної фігури: кути при його підставі рівні. Доведемо це.

Візьмемо трикутник КМН, який є рівнобедреним, КН - його основу. Від нас вимагається довести, що lк = LН. Отже, припустимо, що МА - це бісектриса нашого трикутника КМН. Трикутник МКА з урахуванням першої ознаки рівності дорівнює трикутнику МНА. А саме за умовою дано, що КМ = НМ, МА є спільною стороною, L1 = L2, оскільки МА - це бісектриса. Використовуючи факт рівності цих двох трикутників, можна стверджувати, що lк = LН. Значить, теорема доведена.

Але нас цікавить, яка сума кутів трикутника (рівнобедреного). Оскільки в цьому відношенні у нього немає своїх особливостей, будемо відштовхуватися від теореми, розглянутої раніше. Тобто ми можемо стверджувати, що lк + LМ + LН = 180 °, або 2 х lк + LМ = 180 ° (оскільки lк = LН). Дана властивість доводити не будемо, оскільки сама теорема про суму кутів трикутника була доведена раніше.

Крім розглянутих властивостей про кути трикутника, мають місце і такі важливі твердження:

• в трикутник висота, яка була опущена на основу, є одночасно медіаною, бісектрисою кута, який знаходиться між рівними сторонами, а також віссю симетрії його підстави;
• медіани (бісектриси, висоти), які проведені до бічних сторін такої геометричної фігури, рівні.

Рівносторонній трикутник

Його ще називають правильним, це той трикутник, у якого рівні всі сторони. А тому рівні також і кути. Кожен з них становить 60 градусів. Доведемо цю властивість.

Припустимо, що у нас є трикутник КМН. Нам відомо, що КМ = НМ = КН. А це означає, що відповідно до властивості кутів, розташованих при підставі в трикутник, lк = LМ = LН. Оскільки згідно теоремі сума кутів трикутника lк + LМ + LН = 180 °, то 3 х lк = 180 ° або lк = 60 °, LМ = 60 °, LН = 60 °. Таким чином, твердження доведено.Як видно з вище наведеного докази на підставі теореми, сума кутів рівностороннього трикутника, як і сума кутів будь-якого іншого трикутника, складає 180 градусів. Знову доводити цю теорему немає необхідності.

Існують ще такі властивості, характерні для рівностороннього трикутника:

• медіана, бісектриса, висота в такий геометричній фігурі збігаються, а їх довжина обчислюється як (а х radic-3): 2;
• якщо описати навколо даного багатокутника коло, то її радіус буде дорівнює (а х radic-3): 3;
• якщо вписати в рівносторонній трикутник окружність, то її радіус становитиме (а х radic-3): 6
• площа цієї геометричної фігури обчислюється за формулою: (а2 х radic-3): 4.

Тупоугольние трикутник

Згідно з визначенням тупоугольного трикутника, один з його кутів знаходиться в проміжку від 90 до 180 градусів. Але враховуючи те, що два інших кута даної геометричної фігури гострі, можна зробити висновок, що вони не перевищують 90 градусів. Отже, теорема про суму кутів трикутника працює при розрахунку суми кутів в тупоугольного трикутнику. Виходить, ми сміливо можемо стверджувати, спираючись на вищезгадану теорему, що сума кутів тупоугольного трикутника дорівнює 180 градусам. Знову-таки, дана теорема не потребує повторному підтвердженні.