Трикутник рівносторонній: властивості, ознаки, площа, периметр

У шкільному курсі геометрії величезну кількість часу приділяється вивченню трикутників. Учні обчислюють кути, будують бісектриси і висоти, з'ясовують, чим фігури відрізняються один від одного, і як найпростіше знайти їх площа і периметр. Здається, що це ніяк не знадобиться в житті, але іноді все-таки корисно дізнатися, наприклад, як визначити, що трикутник рівносторонній або тупокутний. Як же це зробити?

Типи трикутників

Три точки, що не лежать на одній прямій, і відрізки, які їх сполучають. Здається, що ця фігура - найпростіша. Якими можуть бути трикутники, якщо у них всього три сторони? Насправді варіантів досить велика кількість, і деяким з них приділяється особлива увага в рамках шкільного курсу геометрії. Правильний трикутник - рівносторонній, тобто всі його кути і сторони рівні. Він володіє рядом примітних властивостей, про які йтиметься далі.

У рівнобедреного рівні тільки дві сторони, і він також досить цікавий. У прямокутного і тупоугольного трикутників, як нескладно здогадатися, відповідно, один з кутів прямий або тупий. При цьому вони також можуть рівнобокими.

Існує і особливий вигляд трикутника, званий єгипетським. Його сторони рівні 3, 4 і 5 одиницям. При цьому він є прямокутним. Вважається, що такий трикутник активно використовувався єгипетськими землемірами та архітекторами для побудови прямих кутів. Є думка, що з його допомогою були зведені знамениті піраміди.

І все-таки всі вершини трикутника можуть лежати на одній прямій. У цьому випадку він буде називатися виродженим, в той час як всі інші - невиродженими. Саме вони і є одним з предметів вивчення геометрії.

Трикутник рівносторонній

Зрозуміло, правильні фігури викликають завжди найбільший інтерес. Вони здаються більш досконалими, більш витонченими. Формули обчислення їх характеристик найчастіше простіше і коротше, ніж для звичайних фігур. Це відноситься і до трикутниках. Не дивно, що при вивченні геометрії їм приділяється досить багато уваги: школярів вчать відрізняти правильні фігури від інших, а також розповідають про деякі їх цікавих характеристиках.

Ознаки і властивості

Як неважко здогадатися з назви, кожна сторона рівностороннього трикутника дорівнює двом іншим. Крім того, він володіє рядом ознак, завдяки яким можна визначити, чи правильна фігура чи ні.

• всі його кути рівні, їх величина складає 60 градусів;
• бісектриси, висоти і медіани, проведені з кожної вершини, совпадают;
• правильний трикутник має 3 осі симетрії, він не змінюється при повороті на 120 градусів.
• центр вписаного кола також є центром описаного кола і точкою перетину медіан, бісектрис, висот і серединних перпендикулярів.

Якщо спостерігається хоча б один з перерахованих вище ознак, то трикутник - рівносторонній. Для правильної фігури справедливі всі згадані твердження.

Всі трикутники мають ряд примітних властивостей. По-перше, середня лінія, тобто відрізок, який ділив дві сторони навпіл і паралельний третьої, дорівнює половині підстави. По-друге, сума всіх кутів цієї фігури завжди дорівнює 180 градусам. Крім того, в трикутниках спостерігається ще одна цікава взаємозв'язок. Так, проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Але це, звичайно, до рівностороннього трикутника відношення не має, адже у нього всі кути рівні.

Вписані та описані окружності

Нерідко в курсі геометрії учні також вивчають те, як фігури можуть взаємодіяти один з одним. Зокрема, вивчаються кола, вписані в багатокутники або описані біля них. Про що йдеться?

Вписаною називають таку окружність, для якої всі сторони багатокутника є дотичними. Описаної - ту, яка має точки дотику з усіма кутами. Для кожного трикутника завжди можна побудувати як перший, так і другий коло, але тільки одну кожного виду. Докази двох цих теорем наводяться в шкільному курсі геометрії.

Крім обчислення параметрів самих трикутників, деякі завдання також мають на увазі розрахунок радіусів цих кіл. І формули стосовно
рівностороннього трикутника виглядають наступним чином:

r = a / radic-? 3-

R = a / 2radic-? 3-

де r - радіус вписаного кола, R - радіус описаного кола, a - довжина сторони трикутника.

Обчислення висоти, периметра та площі

Основні параметри, обчисленням яких займаються школярі під час вивчення геометрії, залишаються незмінними практично для будь-яких фігур. Це периметр, площа і висота. Для простоти розрахунків існують різні формули.

Так, периметр, тобто довжина всіх сторін, обчислюється такими способами:

P = 3a = 3radic-? 3R = 6radic-? 3r, де a - сторона правильного трикутника, R - радіус описаного кола, r - вписаною.

Висота:

h = (radic-? 3/2) * a, де a - довжина сторони.

Нарешті, формула площі рівностороннього трикутника виводиться з стандартною, тобто твори половини підстави на його висоту.

S = (radic-? 3/4) * a², де a - довжина сторони.

Також ця величина може бути обчислена через параметри описаної або вписаного кола. Для цього також існують спеціальні формули:

S = 3radic-? 3r² = (3radic-? 3/4) * R², де r і R - відповідно радіуси вписаного і описаного кіл.

Побудова

Ще один цікавий тип завдань, що стосується в тому числі і трикутників, пов'язаний з необхідністю накреслити ту чи іншу фігуру, використовуючи мінімальний набір
інструментів: циркуль і лінійку без поділів.

Для того щоб побудувати правильний трикутник за допомогою тільки цих пристосувань, необхідно виконати кілька кроків.

1. Потрібно накреслити окружність з будь-яким радіусом і з центром в довільно взятої точці А. Її необхідно відзначити.
2. Далі потрібно провести пряму через цю точку.
3. Перетину кола і прямої необхідно позначити як В і С. Всі побудови повинні проводитися з максимально можливою точністю.
4. Далі треба побудувати ще одну окружність з тим же радіусом і центром в точці С або дугу з відповідними параметрами. Місця перетину будуть позначені як D і F.
5. Точки B, F, D необхідно з'єднати відрізками. Рівносторонній трикутник побудований.

Рішення подібних завдань зазвичай представляє для школярів проблему, але це вміння може стати в нагоді і в звичайному житті.