Метод математичної індукції

Метод математичної індукції може прирівнюватися до прогресу. Так, починаючи з нижчого рівня, дослідники за допомогою логічного мислення переходять до вищого. Будь-який поважаючий себе людина постійно прагне до прогресу і вмінню логічно мислити. Саме тому природою створено індуктивне мислення.

Термін «індукція» в перекладі на російську мову означає наведення, тому індуктивними прийнято вважати висновки за результатами певних дослідів і спостережень, які отримані шляхом формування від часткового до загального.

Прикладом може бути споглядання сходу сонця. Поспостерігавши дане явище протягом декількох днів підряд, можна сказати, що зі сходу сонце зійде і завтра, і післязавтра і т.д.

Індуктивні висновки досить широко застосовувалися і застосовуються в експериментальних науках. Так, за допомогою них можна сформулювати положення, на підставі яких вже за допомогою дедуктивних методів можуть бути зроблені подальші умовиводи. З певною упевненістю можна стверджувати, що «три кити» теоретичної механіки - закони руху Ньютона - самі є результатом проведення приватних дослідів з підведенням загального підсумку. А закон Кеплера про рух планет був виведений ним на підставі багаторічних спостережень Т. Браге, датського астронома. Саме в наведених випадках індукція зіграла свою позитивну роль для уточнення та узагальнення зроблених припущень.

Незважаючи на розширення області свого застосування метод математичної індукції, на жаль, займає мало часу у шкільній програмі. Однак у сучасному світі саме з дитячих років необхідно привчати підростаюче покоління мислити індуктивно, а не просто вирішувати завдання за певним шаблоном або заданої формулою.

Метод математичної індукції може бути широко застосований в алгебрі, арифметиці і геометрії. У цих розділах необхідно проводити доказ істинності деякого безлічі чисел, залежного від натуральних змінних.

Принцип математичної індукції грунтується на доказі істинності пропозиції A (n) для будь-яких значень змінної і складається з двох етапів:

1. Істинність пропозиції A (n) доведено при n = 1.

2. У разі, коли пропозиція A (n) зберігає істинність для n = k (k - натуральне число), воно буде істинним для наступного значення n = k + 1.

Даний принцип і формулює метод мат. індукції. Найчастіше він приймається як аксіома, яка визначає ряд чисел, і застосовується без доказів.

Існують моменти, коли метод математичної індукції в деяких випадках підлягає доведенню. Так, у випадку, коли потрібно довести істинність пропонованого безлічі A (n) для всіх натуральних чисел n, необхідно:

— перевірити на істинність висловлювання A (1) -

— довести істинність висловлювання A (k + 1) при прийнятті до уваги істинність A (k).

У разі вдалого докази справедливості даної пропозиції для будь-якого натурального числа k визнається істинним пропозицію A (n) для всіх значень n, відповідно до зазначеного принципом.

Наведений метод математичної індукції досить широко використовується в доказах тотожностей, теорем, нерівностей. Також може застосовуватися у вирішенні завдань геометричного характеру і на подільність.

Однак не слід думати, що на цьому і закінчується використання методу індукції в математиці. Наприклад, не обов'язково експериментально перевіряти всі теореми, які логічно виведені з аксіом. Але при цьому з цих аксіом є можливість формулювання великої кількості тверджень. І саме вибір тверджень і підказується використанням індукції. За допомогою цього методу можна розділити всі теореми на необхідні для науки і практики і не дуже.