Рівняння гармонійних коливань і його значення в дослідженні природи коливальних процесів

Всі гармонійні коливання мають математичний вираз. Їх властивості характеризує сукупність тригонометричних рівнянь, складність яких визначається складністю самого коливального процесу, властивостями системи і середовищем, в якому вони відбуваються, тобто, зовнішніми чинниками, які впливають на коливальний процес.

Наприклад, в механіці гармонійне коливання являє собою рух, якому властиві:

— прямолінійний характер-

— неравномерность-

— переміщення фізичного тіла, яке відбувається по синусоїдальної або косинусоидальной траєкторії, а залежно від часу.

Виходячи з даних властивостей, можна привести рівняння гармонійних коливань, яке має вигляд:

x = A cos omega-t або ж вид x = A sin omega-t, де х - значення координати, А - значення амплітуди коливання, omega- - коефіцієнт.

Таке рівняння гармонійних коливань є основним для всіх гармонійних коливань, які розглядаються в кінематиці і механіки.

Показник omega-t, який в даній формулі стоїть під знаком тригонометричної функції, іменують фазою, і вона визначає місцеположення коливається матеріальної точки в даний конкретний момент часу при заданій амплітуді. При розгляді циклічних коливань даний показник дорівнює 2л, він показує кількість механічних коливань в межах тимчасового циклу і позначається w. У цьому випадку рівняння гармонійних коливань містить його як показник величини циклічної (кругової) частоти.

Аналізованих нами рівняння гармонійних коливань, як уже зазначалося, може приймати різні види, в залежності від ряду факторів. Наприклад, ось такий варіант. Щоб розглянути диференціальне рівняння вільних гармонійних коливань, слід враховувати те, що їм всім властиво затухання. У різних видах коливань це явище проявляється по-різному: зупинка рухомого тіла, припинення випромінювання в електричних системах. Найпростішим прикладом, що показує зменшення коливального потенціалу, виступає його перетворення в теплову енергію.

Аналізованих рівняння має вигляд: dsup2-s / dtsup2- + 2beta- х ds / dt + omega-sup2-s = 0. У цій формулі: s - значення коливається величини, яка характеризує властивості тієї чи іншої системи, beta- - константа, що показує коефіцієнт загасання, omega- - циклічна частота.

Використання такої формули дозволяє підходити до опису коливальних процесів в лінійних системах з єдиної точки зору, а також виробляти конструювання та моделювання коливальних процесів на науково-експериментальному рівні.

Наприклад, відомо, що затухаючі коливання на заключному етапі свого прояву вже перестають бути гармонійними, тобто категорії частоти і періоду для них стають просто безглуздими і у формулі не відображаються.

Класичним способом дослідження гармонійних коливань виступає гармонійний осцилятор. У найпростішому вигляді він представляє систему, яку описує таке диференціальне рівняння гармонійних коливань: ds / dt + omega-sup2-s = 0. Але різноманіття коливальних процесів природним чином призводить до того, що існує велика кількість осциляторів. Перерахуємо їх основні типи:

— пружинний осцилятор - звичайний вантаж, що володіє якоюсь масою m, який підвішений на пружною пружині. Він здійснює коливальні рухи гармонійного типу, які описуються формулою F = - kx.

— фізичний осцилятор (маятник) - тверде тіло, що здійснює коливальні рухи навколо статичною осі під впливом певної сили-

— математичний маятник (В природі практично не зустрічається). Він являє собою ідеальну модель системи, що включає нестійке фізичне тіло, що володіє певною масою, яке підвішене на жорсткій невагомою нитки.