Вивчаємо маятник - як знайти період коливань математичного маятника

Різноманіття коливальних процесів, які оточують нас, так значно, що просто дивуєшся - а є що-небудь, що не вагається? Навряд чи, адже навіть абсолютно нерухомий предмет, скажімо камінь, який тисячі років лежить нерухомо, все одно здійснює коливальні процеси - він періодично нагрівається вдень, збільшуючись, а вночі остигає і зменшується в розмірах. І найближчий приклад - дерева і гілки - невтомно коливаються все своє життя. Але то - камінь, дерево. А якщо точно так само коливається від напору вітру 100 поверхова будівля? Відомо, наприклад, що верхівка Останкінської телевежі відхиляється туди-сюди на 5-12 метрів, ну чим не маятник висотою 500 м. А наскільки збільшується в розмірах подібна споруда від перепадів температур? Сюди ж можна зарахувати і вібрації корпусів машин і механізмів. Тільки подумайте, літак, в якому ви летите, безперервно коливається. Не передумали літати? Не варто, тому що коливання - це сутність оточуючого нас світу, від них не можна позбутися - їх можна тільки враховувати і застосовувати "користі заради".

Як водиться, вивчення найскладніших областей знання (а простими вони не бувають) починається зі знайомства з найпростішими моделями. І немає більш простою і зрозумілою для сприйняття моделі коливального процесу, ніж маятник. Саме тут, в кабінеті фізики, ми вперше чуємо таку загадкову фразу - "період коливань математичного маятника". Маятник - це нитка і вантаж. І що ж це за такий особливий маятник - математичний? А все дуже просто, для цього маятника передбачається, що його нитка не має ваги, нерастяжима, а матеріальна точка коливається під дією сил тяжіння. Справа в тому, що зазвичай, розглядаючи якийсь процес, наприклад, коливання, не можна абсолютно повністю врахувати фізичні характеристики, наприклад, вага, пружність і т.д. всіх учасників експерименту. В той же час вплив деяких з них на процес зневажливо мало. Наприклад, апріорі зрозуміло, що вага і пружність нитки маятника при певних умовах не роблять помітного впливу на період коливань математичного маятника, як мізерно малі, тому їх вплив виключають з розгляду.

Визначення періоду коливань маятника, чи не найпростіше з відомих, звучить так: період - це час, за який здійснюється одне повне коливання. Давайте зробимо мітку в одній з крайніх точок руху вантажу. Тепер кожен раз, коли точка закривається, робимо відлік кількості повних коливань і засікаємо час, скажімо, 100 коливань. Визначити тривалість одного періоду зовсім нескладно. Проробимо цей експеримент для коливного в одній площині маятника в наступних випадках:

— різна початкова амплітуда-

— різна маса вантажу.

Ми отримаємо приголомшливий на перший погляд результат: у всіх випадках період коливань математичного маятника залишається незмінним. Іншими словами, початкова амплітуда і маса матеріальної точки на тривалість періоду впливу не роблять. Для подальшого викладу є тільки одна незручність - тому висота вантажу при русі змінюється, то і повертає сила по траєкторії змінна, що незручно для розрахунків. Злегка схитрувати - Качний маятник ще й у поперечному напрямку - він почне описувати конусоподібну поверхню, період Т його обертання залишиться колишнім, швидкість руху по колу V - постійна, довжина кола, по якій рухається вантаж S = 2pi-r, а повертає сила спрямована по радіусу.

Тоді обчислимо період коливань математичного маятника:

Т = S / V = 2pi-r / v

Якщо довжина нитки l значно більше розмірів вантажу (хоча б у 15-20 разів), і кут нахилу нитки невеликий (малі амплітуди), то можна вважати, що повертає сила P дорівнює центростремительной силі F:
Р = F = m * V * V / r

З іншого боку, момент повертає сили і момент інерції вантажу рівні, і тоді

P * l = r * (m * g), звідки отримуємо, якщо врахувати, що P = F, рівність: r * m * g / l = m * v * v / r

Зовсім неважко знайти швидкість маятника: v = r * radic-g / l.

А тепер згадуємо найперше вираз для періоду та підставляємо значення швидкості:

Т = 2pi-r / r * radic-g / l

Після тривіальних перетворень формула періоду коливань математичного маятника в остаточному вигляді виглядає так:

Т = 2 pi- radic- l / g

Тепер вже раніше експериментально отримані результати незалежності періоду коливань від маси вантажу і амплітуди отримали своє підтвердження в аналітичному вигляді і зовсім не здаються такими "приголомшливими", як кажуть, що потрібно було довести.

Крім усього іншого, розглядаючи останній вираз для періоду коливання математичного маятника, можна бачити прекрасну можливість для вимірювання прискорення сили тяжіння. Для цього достатньо зібрати якийсь еталонний маятник в будь-якій точці Землі і провести вимірювання періоду його коливань. Ось так, зовсім несподівано, простенький і нехитрий маятник подарував нам чудову можливість дослідження розподілу щільності земної кори, аж до пошуку покладів земних копалин. Але це вже зовсім інша історія.