Принцип Діріхле. Наочність і простота у вирішенні завдань різної складності
Німецького математика Дирихле Петера Густава Лежен (13.02.1805 - 05.05.1859) знають як засновника принципу, названого його ім'ям. Але крім теорії, традиційно пояснюється на прикладі "зайців і клітин", на рахунку іноземного члена-кореспондента Петербурзької академії наук, члена Лондонського королівського товариства, Паризької академії наук, Берлінської академії наук, професора Берлінського і Геттінгенського університетів безліч праць з математичного аналізу і теорії чисел .
Він не тільки ввів в математику всім відомий принцип, Діріхле також зміг довести теорему про нескінченно великому числі простих чисел, які існують в будь арифметичній прогресії з цілих чисел з певною умовою. А умова це полягає в тому, що перший член її і різниця - числа взаємно прості.
Він піддав ретельному вивченню закон розподілу чисел простих, які властиві арифметичній прогресії. Дирихле ввів функціональні ряди, що володіють особливим видом, йому вдалося в частині математичного аналізу вперше точно сформулювати та дослідити поняття умовної збіжності і встановити ознака збіжності ряду, дати строге доведення можливості розкласти в ряд Фур'є функцію, яка має кінцеве число, як максимумів, так і мінімумів. Не залишив без уваги у своїх роботах Діріхле питання механіки і математичної фізики (принцип Дирихле для теорії гармонійної функції).
Унікальність розробленого німецьким вченим методу полягає в його наочної простоті, яка дозволяє вивчати принцип Діріхле в початковій школі. Універсальний інструмент для вирішення широкого спектру завдань, який застосовують як для доказу простих теорем у геометрії, так і для вирішення складних логічних і математичних задач.
Доступність і простота методу дозволила використовувати для його пояснення наочно ігровий спосіб. Складне і трохи заплутане вираз, що формулює принцип Діріхле, має вигляд: «Для безлічі з N елементів, розбитого на деяку кількість непересічних частин - n (загальні елементи відсутні), за умови N> n, хоча б одна частина буде містити більше, ніж один елемент». Його вирішили вдало перефразувати, для цього з метою отримання наочності довелося замінити N на «зайців», а n на «клітки», і заумне вираз отримало вигляд: «За умови, що зайців хоча б на одиницю більше, ніж клітин, завжди знайдеться хоча б одна клітина, в яку потрапить два і більше зайця».
Даний метод логічного міркування ще носить назву від протилежного, він отримав широку популярність як принцип Дирихле. Завдання, які вирішуються при його використанні, найрізноманітніші. Не вдаючись у докладний опис рішення, застосовується принцип Діріхле з однаковим успіхом як для доказу простих геометричних і логічних завдань, так і лягає основою умовиводів при розгляді проблем вищої математики.
Прихильники використання даного методу стверджує, що основна складність використання методу, це визначити, які дані підпадають під визначення «зайців», а які слід розглядати як «клітки».
У задачі про прямий і трикутнику, що лежать в одній площині, при необхідності довести, що вона не може перетинати відразу три сторони, як обмеження використовується одна умова - пряма не проходить ні через одну висоту трикутника. У якості «зайців» розглядаємо висоти трикутника, а «клітинами» є дві півплощини, які лежать по обидві сторони прямій. Очевидно, що як мінімум дві висоти опиняться в одній з півплощини, відповідно, відрізок, який вони обмежують, прямій не присікається, що потрібно було довести.
Також просто і лаконічно використовується принцип Діріхле в логічній завданню про послів і вимпели. За круглим столом розташувалися посли різних держав, а ось прапори їхніх країн розташовані по периметру так, що кожен посол опинився поряд з символом чужої країни. Необхідно довести існування такого становища, коли хоча б два прапори будуть знаходитися біля представників відповідних країн. Якщо прийняти послів за «зайців», а «клітинами» позначити залишилися положення при обертанні столу (їх уже буде менше на одиницю), то завдання приходить до рішення сама собою.
Ці два приклади наведені для того, щоб показати, як легко вирішуються заплутані проблеми при використанні методу, розробленого німецьким математиком.