Як знаходити висоту в трикутник? Формула знаходження, властивості висоти в трикутник

Геометрія - це не тільки предмет в школі, за яким потрібно отримати відмінну оцінку. Це ще й знання, які часто потрібні в житті. Наприклад, при будівництві будинку з високим дахом необхідно розрахувати товщину колод і їх кількість. Це нескладно, якщо знати, як знаходити висоту в трикутник. Архітектурні споруди базуються на знанні властивостей геометричних фігур. Форми будівель часто візуально нагадують їх. Єгипетські піраміди, пакети з молоком, художня вишивка, північні розпису і навіть пиріжки - це все трикутники, що оточують людину. Як казав Платон, весь світ базується на трикутниках.

як знаходити висоту в трикутник

Трикутник

Щоб було зрозуміліше, про що далі піде мова, варто трохи пригадати ази геометрії.

Трикутник є рівнобедреним, якщо він має дві рівних сторони. Їх завжди називають бічними. Сторона, розміри якої відрізняються, отримала назву підстави.

Основні поняття

Як і будь-яка наука, геометрія має свої основні правила і поняття. Їх досить багато. Розглянемо лише ті, без яких наша тема буде кілька незрозуміла.

Висота - це пряма лінія, проведена перпендикулярно до протилежної сторони.

Медіана - це відрізок, спрямований з будь-якої вершини трикутника виключно до середини протилежної сторони.

Бісектриса кута - це промінь, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса трикутника - це пряма, вірніше, відрізок бісектриси кута, з'єднує вершину з протилежною стороною.

Дуже важливо запам'ятати, що бісектриса кута - це обов'язково промінь, а бісектриса трикутника - це частина такого променя.

Кути при основі

Теорема свідчить, що кути, розташовані при підставі будь-якого рівнобедреного трикутника, завжди рівні. Довести цю теорему дуже просто. Розглянемо зображений трикутник АВС, у якого АВ = ВС. З кута АВС необхідно провести бісектрису ВД. Тепер слід розглянути два отриманих трикутника. За умовою АВ = ВС, сторона ВД у трикутників загальна, а кути АВД і СВД рівні, адже ВД - бісектриса. Згадавши перша ознака рівності, можна сміливо зробити висновок, що розглянуті трикутники рівні. А отже, рівні всі відповідні кути. І, звичайно, сторони, але до цього моменту повернемося пізніше.

висота в трикутник формула

Висота рівнобедреного трикутника

Основна теорема, на якій базується рішення практично всіх задач, звучить так: висота в трикутник є бісектрисою і медіаною. Щоб зрозуміти її практичний сенс (або суть), слід зробити допоміжне посібник. Для цього необхідно вирізати з паперу трикутник. Найлегше це зробити зі звичайного тетрадного листка в клітинку.

висота в трикутник є бісектрисою і медіаною

Зігніть отриманий трикутник навпіл, поєднавши бічні сторони. Що вийшло? Два рівних трикутника. Тепер слід перевірити припущення. Розгорніть отримане орігамі. Прокреслите лінію згину. За допомогою транспортира перевірте кут між прокресленою лінією і підставою трикутника. Про що говорить кут в 90 градусів? Про те, що прокреслена лінія - перпендикуляр. За визначенням - висота. Як знаходити висоту в трикутник, ми розібралися. Тепер займемося кутами при вершині. За допомогою того ж транспортира перевірте кути, утворені тепер уже заввишки. Вони рівні. Значить, висота одночасно є і бісектрисою. Озброївшись лінійкою, виміряйте відрізки, на які розбиває висота підставу. Вони рівні. Отже, висота в трикутник ділить підставу навпіл і є медіаною.

Доказ теореми

Наочний посібник яскраво демонструє істинність теореми. Але геометрія - наука досить точна, тому вимагає доказів.

Під час розгляду рівності кутів при підставі було доведено рівність трикутників. Нагадаємо, ВД - бісектриса, а трикутники АВД і СВД рівні. Висновок був такий: відповідні сторони трикутника і, природно, кути рівні. Значить, АТ = СД. Отже, ВД - медіана. Залишилося довести, що ВД є заввишки. Виходячи з рівності розглянутих трикутників, виходить, що кут АДВ дорівнює куту СДВ. Але ці два кути є суміжними, і, як відомо, дають у сумі 180 градусів. Отже, чому вони рівні? Звичайно, 90 градусам. Таким чином, ВД - це висота в трикутник, проведена до основи. Що і треба було довести.

висота в трикутник дорівнює

Основні ознаки

• Щоб успішно вирішувати завдання, слід запам'ятати основні ознаки рівнобедрених трикутників. Вони ніби зворотна теорема.
• Якщо в ході рішення задачі виявляється рівність двох кутів, значить, ви маєте справу з рівнобедреного трикутника.
• Якщо вдалося довести, що медіана є одночасно і висотою трикутника, сміливо укладайте - трикутник рівнобедрений.
• Якщо бісектриса є і висотою, то, спираючись на основні ознаки, трикутник відносять до рівнобедреним.
• І, звичайно, якщо медіана виступає і в ролі висоти, то такий трикутник - рівнобедрений.

Формула висоти 1

Однак для більшості завдань потрібно знайти арифметичну величину висоти. Саме тому розглянемо, як знаходити висоту в трикутник.

Повернемося до представленої вище фігурі АВС, у якої а - бічні сторони, в - підстава. ВД - висота цього трикутника, вона має позначення h.

висота в трикутник проведена до основи

Що являє собою трикутник АВД? Так як ВД - висота, то трикутник АВД - прямокутний, катет якого необхідно знайти. Скориставшись формулою Піфагора, отримуємо:

АВsup2- = АДsup2- + ВДsup2-

Визначивши з виразу ВД і підставивши прийняті раніше позначення, отримаємо:

Нsup2- = аsup2- - (в / 2) sup2-.

Необхідно витягти корінь:

Н = radic-аsup2- - вsup2- / 4.

Якщо винести з під знака кореня frac14-, то формула буде мати вигляд:

Н = frac12- radic-4аsup2- - вsup2-.

Так перебуває висота в трикутник. Формула випливає з теореми Піфагора. Навіть якщо забути цю символічну запис, то, знаючи метод знаходження, завжди можна її вивести.

Формула висоти 2

Формула, описана вище, є основною і найчастіше використовується при вирішенні більшості геометричних задач. Але вона не єдина. Іноді в умови, замість підстави, дано значення кута. При таких даних як знаходити висоту в трикутник? Для вирішення подібних завдань доцільно використовувати іншу формулу:

Н = а / sin alpha-,

де Н - висота, спрямована до основи,

а - бічна сторона,

alpha- - кут при основі.

Якщо в задачі дано значення кута при вершині, то висота в трикутник знаходиться наступним чином:

Н = а / cos (beta- / 2),

де Н - висота, опущена на основу ,,

beta- - кут при вершині,

а - бічна сторона.

Прямокутний трикутник

Дуже цікавою властивістю володіє трикутник, вершина якого дорівнює 90 градусам. Розглянемо прямокутний трикутник АВС. Як і в попередніх випадках, ВД - висота, спрямована до основи.

висота в трикутник ділить підставу навпіл

Кути при основі рівні. Обчислити їх великих труднощів не складе:

alpha- = (180 - 90) / 2.

Таким чином, кути, що знаходяться при підставі, завжди по 45 градусів. Тепер розглянемо трикутник АДВ. Він також є прямокутним. Знайдемо кут АВД. Шляхом нескладних обчислень одержуємо 45 градусів. А, отже, цей трикутник не тільки прямокутний, а й рівнобедрений. Сторони АД і ВД є бічними сторонами і рівні між собою.

Але сторона АД в той же час є половиною боку АС. Виходить, що висота в трикутник дорівнює половині підстави, а якщо записати у вигляді формули, то отримаємо такий вираз:

Н = в / 2.

Слід не забувати, що дана формула є виключно приватною випадком, і може бути використана тільки для прямокутних рівнобедрених трикутників.

висота в трикутник дорівнює половині підстави

Золоті трикутники

Дуже цікавим є золотий трикутник. У цій фігурі ставлення бічної сторони до основи дорівнює величині, названої числом Фідія. Кут, розташований при вершині - 36 градусів, при підставі - 72 градуси. Цим трикутником захоплювалися піфагорійці. Принципи золотого трикутника покладені в основу безлічі безсмертних шедеврів. Відома всім п'ятикутна зірка побудована на перетині рівнобедрених трикутників. Для багатьох творінь Леонардо да Вінчі використовував принцип «золотого трикутника». Композиція «Джоконди» заснована саме на фігурах, які створюють собою правильний зірчастий п'ятикутник.

Картина «Кубізм», одне з творінь Пабло Пікассо, заворожує погляд покладеними в основу рівнобедреного трикутника.