Сума кубів і їх різниця: формули скороченого множення
Математика - одна з тих наук, без яких неможливе існування людства. Практично кожна дія, кожен процес сполучені з використанням математики та її елементарних дій. Багато великі вчені доклали величезних зусиль до того, щоб зробити дану науку простіше і зрозуміліше. Різні теореми, аксіоми і формули дозволяють учням швидше сприймати інформацію і застосовувати знання на практиці. При цьому більшість з них пам'ятається протягом усього життя.
сума кубів
Найзручнішими формулами, що дозволяє студентам і школярам справлятися з гігантськими прикладами, дробом, раціональними та ірраціональними виразами, є формули, в тому числі і скороченого множення:
1. суми та різниці кубів:
s3 - t3 - разность-
k3 + l3 - сума.
2. формула куба суми, а також куба різниці:
(F + g)3 і (h - d)3-
3. різницю квадратів:
z2 - v2-
4. квадрат суми:
(N + m)2 і т.д.
Формула сума кубів є практично найскладнішою для запам'ятовування і відтворення. Виною тому чергуються знаки в її розшифровці. Їх неправильно пишуть, плутаючи з іншими формулами.
Сума кубів розкривається наступним чином:
k3 + l3 = (K + l) * (k2 - k * l + l2).
Другу частину рівняння іноді плутають з квадратичним рівнянням або розкритим виразом квадрата суми і додають у другий доданок, а саме до «k * l» число 2. Однак формула сума кубів розкривається тільки так. Давайте доведемо рівність правої і лівої частини.
Підемо від зворотнього, тобто, постараємося показати, що друга половина (k + l) * (k2 - k * l + l2) Буде дорівнювати висловом k3 + l3.
Розкриємо дужки, перемноживши доданки. Для цього спочатку множимо «k» на кожен член другого вирази:
k * (k2 - k * l + k2) = K * l2 - k * (k * l) + k * (l2) -
потім таким же чином виробляємо дію з невідомим «l»:
l * (k2 - k * l + k2) = L * k2 - l * (k * l) + l * (l2) -
спрощуємо вийшло вираз формули сума кубів, розкриваємо дужки, і при цьому наводимо подібні доданки:
(K3 - k2* L + k * l2) + (L * k2 - l2* K + l3) = K3 - k2l + kl2 + lk2 - lk2 + l3 = K3 - k2l + k2l + kl2- kl2 + l3 = K3 + l3.
Цей вираз дорівнює початкового варіанту формули сума кубів, а це і було потрібно показати.
формула куба суми
Знайдемо доказ для вираження s3 - t3. Дана математична формула скороченого множення має назву різниця кубів. Розкривається вона таким чином:
s3 - t3 = (S - t) * (s2 + t * s + t2).
Аналогічним, як і в попередньому прикладі чином доведемо відповідність правої і лівої частин. Для цього розкриємо дужки, перемноживши доданки:
для невідомого «s»:
s * (s2 + s * t + t2) = (S3 + s2t + st2) -
для невідомого «t»:
t * (s2 + s * t + t2) = (S2t + st2 + t3) -
при перетворенні та розкритті дужок даної різниці виходить:
s3 + s2t + st2 - s2t - s2t - t3 = S3 + s2t- s2t - st2+st2- t3= S3 - t3 - що потрібно було довести.
Для того щоб запам'ятати, які знаки ставляться при розкритті подібного вираження, необхідно звернути увагу на знаки між складовими. Так, якщо одне невідоме відокремлене від іншого математичним символом «-», то в першу скобці буде стояти мінус, а другий - два плюси. Якщо між кубами розташований знак «+», то, відповідно, перший множник буде містити плюс, а другий мінус, а потім плюс.
Це можна представити у вигляді невеликої схеми:
s3 - t3 - («Мінус») * («плюс» «плюс») -
k3 + l3 - («Плюс») * («мінус» «плюс»).
формула сума кубів
Розглянемо приклад:
Дано вираз (w - 2)3 + 8. Необхідно розкрити дужки.
Рішення:
(W - 2)3 + 8 можна представити у вигляді (w - 2)3 + 23
Відповідно, як суму кубів цей вираз можна розкласти за формулою скороченого множення:
(W - 2 + 2) * ((w - 2)2 - 2 * (w - 2) + 22) -
Потім спрощуємо вираз:
w * (w2 - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w2 - 6w + 12) = w3 - 6w2 +12w.
При цьому, першу частину (w - 2)3 можна розглядати також як куб різниці:
(H - d)3 = H3 - 3 * h2* D + 3 * h * d2 - d3.
Тоді, якщо розкрити її по даній формулі, вийде:
(W - 2)3 = W3 - 3 * w2 * 2 + 3 * w * 22 - 23 = W3 - 6 * w2 + 12w - 8.
Якщо додати до неї другу частину первісного прикладу, а саме «+8», то результат буде наступним:
(W - 2)3 + 8 = w3 - 3 * w2 * 2 + 3 * w * 22 - 23 + 8 = w3 - 6 * w2 + 12w.
Таким чином, ми знайшли рішення даного прикладу двома способами.
Необхідно пам'ятати, що запорукою успіху в будь-якій справі, в тому числі і у вирішенні математичних прикладів, є посидючість і уважність.