Циліндр, площа циліндра
Циліндр (походить з грецької мови, від слів "каток", "валик") - це геометричне тіло, яке обмежене зовні поверхнею, яка називається циліндричної, і двома площинами. Дані площині перетинають поверхню фігури і є паралельними один одному.
Циліндрична поверхня - це поверхня, яка отримана поступальними рухами прямої лінії в просторі. Ці рухи такі, що виділена точка цієї прямої лінії здійснює рух вздовж кривої плоского типу. Така пряма лінія називається твірною, а крива лінія - направляє.
Циліндр складається з пари підстав і бічної циліндричної поверхні. Циліндри бувають декількох видів:
1. Круговий, прямий циліндр. У такого циліндра підстави і спрямовуюча перпендикулярні що утворює лінії, і є вісь симетрії.
2. Похилий циліндр. У нього кут між твірною лінією і підставою не є прямим.
3. Циліндр іншої форми. Гіперболічний, еліптичний, параболічний та інші.
Площа циліндра, а також площа повної поверхні будь-якого циліндра знаходиться за допомогою додавання площ підстав цієї фігури і площі бічної поверхні.
Формула, за якою обчислюється повна площа циліндра для кругового, прямого циліндра:
Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h + R).
Площа бічної поверхні шукається трохи складніше, ніж площа циліндра цілком, вона обчислюється шляхом множення довжини твірної лінії на периметр перерізу, утвореного площиною, яка перпендикулярна що утворює лінії.
Дана площа поверхні циліндра для кругового, прямого циліндра пізнається по розгортці цього об'єкта.
Розгортка - це прямокутник, який має висоту h і довжину P, яка прирівнюється периметру підстави.
Звідси випливає, що бічна площа циліндра є рівною площі розгортки і може бути обчислена за цією формулою:
Sb = Ph.
Якщо взяти кругової, прямий циліндр, то для нього:
P = 2п R, а Sb = 2п Rh.
Якщо циліндр похилий, то площа бічної поверхні повинна бути дорівнює добутку довжини його твірної лінії і периметра перетину, яке перпендикулярно даної твірної лінії.
На жаль, не існує простої формули для вираження площі бічної поверхні похилої циліндра через його висоту і параметри його заснування.
Щоб обчислити площу перерізу циліндра, необхідно знати кілька фактів. Якщо перетин своєю площиною перетинає підстави, то таке перетин завжди є прямокутником. Але ці прямокутники будуть різними, залежно від положення перетину. Одна зі сторін осьового перерізу фігури, яке перпендикулярно підставах, дорівнює висоті, а інша - діаметру основи циліндра. А площа такого перетину, відповідно, прирівнюється добутку однієї сторони прямокутника на іншу, перпендикулярну першої, або твору висоти даної фігури на діаметр його заснування.
Якщо перетин буде перпендикулярно підставах фігури, але не буде проходити через вісь обертання, то площа цього перерізу буде дорівнює добутку висоти цього циліндра і певної хорди. Щоб отримати хорду, потрібно побудувати коло біля основи циліндра, провести радіус і відкласти на ньому відстань, на якій знаходиться розтин. А від цієї точки потрібно провести перпендикуляри до радіусу від перетину з колом. Точки перетину з'єднуються з центром. А основу трикутника - це шукана хорда, довжина якої шукається по теоремі Піфагора. Теорема Піфагора звучить так: «Сума квадратів двох катетів дорівнює гіпотенузі, зведеної в квадрат»:
С2 = А2 + В2.
Якщо розтин не зачіпає основи циліндра, а сам циліндр кругової і прямий, то площа цього перерізу знаходиться як площа кола.
Площа кола дорівнює:
S окр. = 2п R2.
Щоб знайти радіус кола R, потрібно її довжину C розділити на 2п:
R = C 2п, де п - число пі, математична постійна, обчислена для роботи з даними окружності і рівна 3,14.