Що таке квадратний корінь?
Серед безлічі знань, які є ознакою грамотності, на першому місці стоїть абетка. Наступним, таким же «знаковим» елементом, є навички складання-множення і, що примикають до них, але зворотні за змістом, арифметичні операції віднімання-ділення. Засвоєні в далекому шкільному дитинстві навички, служать вірою і правдою денно і нощно: ТБ, газета, СМС, рахунки на оплату. І скрізь читаємо, пишемо, вважаємо, складаємо, віднімаємо, множимо. А, скажіть, чи часто вам доводилося по життю, витягувати коріння, окрім, як на дачі? Наприклад, така цікава задачка, типу, корінь квадратний з числа 12345 ... Є ще порох у порохівницях? Подужаємо? Та немає нічого простіше! Де тут мій калькулятор ... А без нього, врукопаш, слабо?
Спочатку уточнимо, що ж це таке - квадратний корінь числа. Взагалі кажучи, «витягти корінь з числа» означає виконати арифметичну дію протилежне зведенню в ступінь - от вам і єдність протилежностей в життєвому додатку. Піднесення до степеня, припустимо, квадрат, це множення числа на саму себе, тобто, як учили в школі, Х * Х = А чи в іншому записі Х2 = А, а словами - «Х в квадраті дорівнює А». Тоді зворотне завдання звучить так: квадратний корінь числа А, являє собою число Х, яке будучи зведено в квадрат одно А.
Витягаємо квадратний корінь
Зі шкільного курсу арифметики відомі способи обчислень «в стовпчик», які допомагають виконати будь підрахунки із застосуванням перших чотирьох арифметичних дій. На жаль ... Для квадратних, і не тільки квадратних, коренів таких алгоритмів не існує. А в такому випадку, як витягти квадратний корінь без калькулятора? Виходячи з визначення квадратного кореня висновок один - необхідно підбирати значення результату послідовним перебором чисел, квадрат яких наближається до значення подкоренного вираження. Тільки і всього! Не встигне пройти годину-другу, як можна порахувати, використовуючи добре відомий прийом множення в «стовпчик», будь квадратний корінь. При наявності навичок для цього досить пари хвилин. Навіть не зовсім просунутий користувач калькулятора або ПК робить це одним махом - прогрес.
А якщо серйозно, то обчислення квадратного кореня часто виконують, використовуючи прийом «артилерійської вилки»: спочатку беруть число, квадрат якого, приблизно, відповідає подкоренное вираз. Краще, якщо «наш квадрат» трохи менше цього виразу. Потім коректують число за власним вмінню-розумінню, наприклад, множать на два, і ... знову зводять у квадрат. Якщо результат більше числа під коренем, послідовно коригуючи вихідне число, поступово наближаються до його «колезі» під коренем. Як бачите - ніякого калькулятора, тільки вміння рахувати «в стовпчик». Звичайно ж, є безліч науково-аргументованих і оптимізованих алгоритмів обчислень квадратного кореня, але для «домашнього застосування» зазначений вище прийом дає 100% впевненість в результаті.
Так, мало не забув, щоб підтвердити свою зрослу грамотність, обчислимо квадратний корінь раніше зазначеного числа 12345. Робимо покроково:
1. Візьмемо, чисто інтуїтивно, Х = 100. Підрахуємо: Х * Х = 10000. Інтуїція на висоті - результат менше 12345.
2. Спробуємо, теж чисто інтуїтивно, Х = 120. Тоді: Х * Х = 14400.І знову з інтуїцією порядок - результат більше 12345.
3. Вище отримана «вилка» 100 і 120. Виберемо нові числа - 110 і 115. Отримуємо, відповідно, 12100 і 13225 - вилка звужується.
4. Пробуємо на «авось» Х = 111. Отримуємо Х * Х = 12321. Це число вже досить близько до 12345. Відповідно з необхідною точністю «підгонку» можна продовжити або зупинитися на отриманому результаті. От і все. Як і було обіцяно - все дуже просто і без калькулятора.
Зовсім трохи історії ...
Додумалися до використання квадратних коренів ще піфагорійці, учні школи та послідовники Піфагора, за 800 років до н.е. і тут же, «нарвалися» на нові відкриття в області чисел. І звідки що взялось?
1. Рішення завдання з витяганням кореня, дає результат у вигляді чисел нового класу. Їх назвали ірраціональними, інакше кажучи, «нерозумними», тому вони не записуються закінченим числом. Самий класичний приклад такого роду - квадратний корінь з 2. Цей випадок відповідає обчисленню діагоналі квадрата зі стороною рівною 1 - ось воно, вплив школи Піфагора. Виявилося, що у трикутника з цілком конкретним одиничним розміром сторін, гіпотенуза має розмір, який виражається числом, у якого «немає кінця». Так в математиці з'явилися ірраціональні числа.
2. Відомо, що добрий початок. Виявилося, що ця математична операція містить ще один підступ - витягуючи корінь, ми не знаємо, квадратом якого числа, позитивного або негативного, є подкоренное вираз. Ця невизначеність, подвійний результат від однієї операції, так і записується.
Вивчення пов'язаних з цим явищем проблем стало напрямком в математиці під назвою теорія комплексної змінної, що має велике практичне значення в математичній фізиці.
Цікаво, що позначення кореня - радикал - застосував у своїй «Універсальної арифметиці» все той же всюдисущий І. Ньютон, а в точності сучасний вигляд записи кореня відомий з 1690 року через книги француза Ролля «Керівництво алгебри».