Паралельність площин: умова і властивості

Паралельність площин є поняттям, вперше з'явилися в евклідовой геометрії більше двох тисяч років тому.

Основні характеристики класичної геометрії

Народження цієї наукової дисципліни пов'язане з найвідомішим працею давньогрецького мислителя Евкліда, який написав в третьому столітті до нашої ери памфлет «Начала». Розділені на тринадцять книг, «Начала» були вищим досягненням всієї античної математики і викладали фундаментальні постулати, пов'язані з властивостями плоских фігур.

Класичне умова паралельності площин було сформульовано таким чином: дві площини можуть назватися паралельними, якщо вони між собою не мають спільних точок. Про це свідчив п'ятий постулат евклідовой праці.

Властивості паралельних площин

У евклідовой геометрії їх виділяють, як правило, п'ять:

• Властивість перший (Описує паралельність площин і їх одиничність). Через одну точку, яка лежить поза конкретною даній площині, ми можемо провести одну і тільки одну паралельну їй площину

• Властивість другого (Також має назву властивості трьох паралельних). У тому випадку, коли дві площини є паралельними по відношенню до третьої, між собою вони також паралельні.

• Властивість третій (Іншими словами воно називається властивістю прямої, що перетинає паралельність площин). Якщо окремо взята пряма лінія перетинає одну з цих паралельних площин, то вона перетне й іншу.

• Властивість четверте (Властивість прямих ліній, висічених на площинах, паралельних один одному). Коли дві паралельні площини перетинаються третьою (під будь-яким кутом), лінії їх перетину також є паралельними

• Властивість п'ятий (Властивість, що описує відрізки різних паралельних прямих, які укладені між площинами, паралельними один одному). Відрізки тих паралельних прямих, які укладені між двома паралельними площинами, обов'язково рівні.

Паралельність площин у неевклідової геометрії

Такими підходами є зокрема геометрія Лобачевського і Рімана. Якщо геометрія Евкліда реалізовувалася на плоских просторах, то у Лобачевського в негативно викривлених просторах (вигнутих просто кажучи), а у Рімана вона знаходить свою реалізацію в позитивно викривлених просторах (іншими словами - сферах). Існує дуже поширене стереотипна думка, що у Лобачевського паралельні площині (і лінії теж) перетинаються. Однак це неправильно. Дійсно народження гіперболічній геометрії було пов'язано з доказом п'ятого постулату Евкліда і зміною поглядів на нього, проте саме визначення паралельних площин і прямих увазі, що вони не можуть перетнутися ні у Лобачевського, ні у Рімана, в яких би просторах вони ні реалізовувалися. А зміна поглядів і формулювань полягало в наступному. На зміну постулату про те, що лише одну паралельну площину можна провести через точку, що не лежить на даній площині, прийшла інша формулювання: через точку, яка не лежить на даній конкретній площині, можуть проходити дві, принаймні, прямі, які лежать в одній площині з даної і не перетинають її.