Компактне безліч

Компактне безліч являє собою певне топологічний простір, в покритті якого знаходиться кінцеве підпокриття. Компактні простору в топології за своїми властивостями можуть нагадувати систему кінцевих множин у відповідній теорії.

Компактне безліч або компакт - підмножина топологічного простору, який є індукованим типом компактного простору.

Відносно компактним (предкомпактним) безліч є тільки у разі наявності компактного замикання. При виділенні в просторі сходящейся підпослідовності воно може називатися секвенційного компактним.

Компактне безліч має певні властивості:

— компакт є образом будь-якого безперервного отображенія-

— замкнута підмножина завжди має компактность-

— безперервне взаємно однозначне відображення, яке визначено на компакті, відноситься до гомеоморфізмом.

Прикладами компактного безлічі є:

— обмежені і замкнуті безлічі Rn-

— кінцеві підмножини в просторах, які задовольняють аксіомі подільності Т1-

— теорема Асколі-Арцела, що характеризує компактне безліч для певних функціональних пространств-

— простір Стоуна, що відноситься до булевої алгебре-

— компактіфікаціі топологічного простору.

Розглядаючи універсальне безліч з позиції математики, можна стверджувати, що це безліч, яке містить сукупність елементів з конкретними властивостями. Поряд з розглянутим поняттям існує ще гіпотетичне безліч, що включає в себе всілякі компоненти. Однак його властивості суперечать самій суті множини.

У сфері елементарної арифметики універсальне безліч представлено сукупністю цілих чисел. Однак особлива роль належить цій безлічі в теорії безлічі.

Безліч натуральних чисел включає набір елементів (чисел), які можуть виникнути природним чином під час рахунку. Існує два підходи при визначенні натуральних чисел:

— перерахування предметів (перший, другий і т.д.) -

— кількість предметів (один, два і т.п.).

При цьому різні не цілі і негативні цілі до натурального типу чисел не відносяться. У математичній сфері безліч натуральних чисел позначається N. Дане поняття є нескінченним, завдяки наявності для будь-якого числа натурального типу іншого натурального числа, більшого ніж перше.

На відміну від натуральних, цілі числа виходять в результаті здійснення таких математичних операцій над натуральними числами, як додавання чи віднімання. Безліч цілих чисел в математиці позначається Z. За результатами віднімання, додавання і множення двох чисел цілого типу буде число тільки такого ж типу. Необхідність появи даного типу чисел обумовлена відсутністю можливості визначити різницю двох натуральних чисел. Саме Міхаелем Штіфель введені в математику негативні числа.

Вимагає пильної уваги розгляду такого поняття, як бікомпактних простір. Даний термін введений П.С. Александровим для посилення поняття компактного простору, введеного в математику М. Фреше. У первинному розумінні простір топологічного типу компактно в разі наявності кінцевого підпокриття в кожному відкритому покритті. При подальшому розвитку математики термін бікомпактних став на порядок вище, ніж його нижчий аналог. І в даний час саме бікомпактних розуміють під компактністю, а старий сенс зазначеного терміну полягає в назві «лічильно-компактні». Однак обидва поняття є рівносильними при використанні в метричних просторах.