Ступеня чисел: історія, визначення, основні властивості
Найпростіші математичні вирази стали відомі людям ще в глибоку давнину. У той же час постійно йшло вдосконалення як самих операцій, так і їх запису на тому чи іншому носії.
Зокрема, в Давньому Єгипті, чиї вчені внесли помітний вклад як у розвиток елементарної арифметики, так і в створення основ алгебри і геометрії, звернули увагу на те, що коли відбувається множення будь-якого числа на одне і те ж число багато разів, то на це витрачається величезна кількість непотрібних зусиль. Більше того, така операція вела до значних фінансових витрат: згідно з діючими тоді установкам на оформлення будь-яких записів, кожній дію з числом повинно було детально описуватися. Якщо згадати, що навіть самий найпростіший папірус коштував досить значну суму грошей, то не варто дивуватися тим зусиллям, які єгиптяни доклали, щоб знайти вихід з цієї ситуації.
Рішення знайшов знаменитий Діофант Олександрійський, який придумав спеціальний математичний знак, який став показувати, скільки разів необхідно помножити те чи інше число на саме себе. Згодом відомий французький математик Р. Декарт удосконалив написання цього виразу, запропонувавши при позначенні ступеня чисел просто приписувати її в правому верхньому куті над основним числом.
Завершальним акордом в письмовому оформленні ступеня чисел стала діяльність відомого Н. Шюке, який ввів у науковий обіг спочатку негативну, а потім і нульову ступінь.
Що ж означає фраза «звести ступінь»? Для початку необхідно зрозуміти, що саме по собі спорудження до рівня являє собою одну з найважливіших бінарних математичних операцій, суть якої полягає в неодноразовому множенні числа на саме себе.
У загальному вигляді дана операція позначається виразом «XY». У цьому випадку «X» називатиметься підставою ступеня, а «Y» - її показником. В даному випадку «звести в ступінь» можна буде розшифрувати як «помножити«X»на саме себе«Y»раз».
Ступеня чисел, як і більшість інших математичних елементів, володіють певними властивостями:
1. При зведенні в нульову ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля (як позитивного, так і негативного) вийде одиниця.
х ^^ 0 = 1
2. Ступені чисел, де показники мають від'ємне значення, слід перетворити у вираз з позитивним показником
х-а = 1 / х ^ а
3. Для того щоб здійснити множення чисел зі ступенями, слід пам'ятати, що дана операція можлива тільки в тому випадку, якщо у них однакові підстави. При цьому множення чисел зі ступенями здійснюється у відповідності з наступним правилом: підстава залишається без змін, а до показника одного додається величина показників інших ступенів.
x ^ y x ^ z = x ^ y + z
4. У тому випадку, коли відбувається розподіл ступенів, необхідно дотримуватися того ж правила, тільки замість суми в показнику буде різниця.
x ^ y / x ^ z = x ^ y-z
5. Ще одна найважливіша властивість ступенів пов'язане з тими ситуаціями, коли потрібно звести в ступінь сам показник ступеня. У цьому випадку необхідно перемножити обидва ці показники.
(X ^ y) ^ z = x ^ y.z
6. У ряді випадків є необхідність розписати ступінь твору через ступінь чисел. У цьому випадку необхідно мати на увазі, що ступінь твори обчислюється відповідно от з цим правилом:
(Xyz) ^ a = x ^ a y ^ a z ^ a
7. Якщо виникне необхідність розписати ступінь приватного, то перше, на що слід звернути увагу, це те, що підстава знаменника не може дорівнювати нулю. В іншому ж необхідно дотримуватися наступної формули:
(X / y) ^ a = x ^ a / y ^ a
Певні труднощі зустрічаються тоді, коли потрібно звести в ступінь підставу, вираз якого менше нуля. Результат в цьому випадку може бути як негативним, так і позитивним. Залежати він буде від показника ступеня, а саме від того, яким числом - непарних або парних - цей показник був.