Закони алгебри логіки

Сучасні комп'ютери, засновані на «древніх» електронно-обчислювальних машинах, в якості базових принципів роботи спираються на певні постулати. Вони називаються закони алгебри логіки. Вперше подібна дисципліна була описана (звичайно, не настільки детально, як у сучасному вигляді) давньогрецьким ученим Аристотелем.

Представляючи собою окремий розділ математики, в рамках якого вивчається числення висловів, алгебра логіки має ряд чітко вибудованих висновків і висновків.

З тим щоб краще розібратися в темі, розберемо поняття, які допоможуть надалі дізнатися закони алгебри логіки.

Мабуть, основний термін у досліджуваній дисципліні - висловлювання. Це таке собі твердження, яке не може бути одночасно хибним і істинним. Йому завжди властива лише одна з цих характеристик. При цьому умовно прийнято істинності надавати значення 1, хибності - 0, а саме висловлювання називати якоїсь латинською буквою: A, B, C. Інакше кажучи, формула A = 1 означає, що висловлювання А істинно. З висловлюваннями можна поступати самим різним чином. Коротко розглянемо ті дії, які можна з ними робити. Відзначимо також, що закони алгебри логіки неможливо засвоїти, не знаючи цих правил.

1. Диз'юнкція двох висловлювань - результат операції «або». Може бути або помилковою, або істинною. Використовується символ «v».

2. Кон'юнкція. Результатом подібної дії, скоєного з двома висловлюваннями, стане нове висловлення, щире лише у випадку, коли обидва вихідних висловлювання істинні. Використовується операція «і», символ «^».

3. Імплікація. Операція «якщо А, то В». Результатом є висловлення, помилкове лише у випадку істинності А і хибності В. Застосовується символ «->».

4. еквіваленціі. Операція «A тоді і тільки тоді В, коли». Дане висловлювання істинно у випадках, коли обидві змінні мають однакові оцінки. Використовується символ «<->».

Існує також ряд операцій, близьких до імплікації, але в даній статті вони розглянуті не будуть.

Тепер докладним чином розглянемо основні закони алгебри логіки:

1. комутативну або переместительное свідчить, що зміна місць логічних доданків в операціях кон'юнкції або диз'юнкції на результаті не позначається.

2. сочетательність або асоціативний. Згідно з цим законом, змінні в операціях кон'юнкції або диз'юнкції можна об'єднувати в групи.

3. Розподільчий або дистрибутивний. Суть закону в тому, що однакові змінні в рівняннях можна винести за дужки, не змінивши логіки.

4. Закон де Моргана (інверсії або заперечення). Заперечення операції кон'юнкції рівносильно диз'юнкції заперечення вихідних змінних. Заперечення від диз'юнкції, у свою чергу, так само кон'юнкції заперечення тих же змінних.

5. Подвійне заперечення. Заперечення якогось висловлювання двічі дає в результаті вихідне висловлювання, тричі - його заперечення.

6. Закон ідемпотентності виглядає наступним чином для логічного додавання: xvxvxvx = x- для множення: x ^ x ^ x ^ = x.

7. Закон несуперечливий говорить: два висловлювання, якщо вони суперечливі, одночасно бути істинними не можуть.

8. Закон виключення третього. Серед двох суперечливих висловлювань одне - завжди істинне, інше - хибне, третього не дано.

9. Закон поглинання можна записати таким чином для логічного додавання: xv (x ^ y) = x, для множення: x ^ (xvy) = x.

10. Закон склеювання. Дві сусідні кон'юнкції здатні склеїтися, утворивши кон'юнкцію меншого рангу. При цьому та змінна, по якій вихідні кон'юнкції склеювалися, зникає. Приклад для логічного додавання:

(X ^ y) v (-x ^ y) = y.

Ми розглянули лише найбільш використовувані закони алгебри логіки, яких за фактом може бути багатьом більше, оскільки нерідко логічні рівняння набувають довгий і витіюватий вид, скоротити який можна, застосувавши ряд схожих законів.

Як правило, для зручності підрахунку і виявлення результатів використовуються спеціальні таблиці. Всі існуючі закони алгебри логіки, таблиця для яких має загальну структуру сіткового прямокутника, розписують, розподіляючи кожну змінну в окрему клітинку. Чим більше рівняння, тим простіше з ним впоратися, використовуючи таблиці.