Кіл Ейлера. Кіл Ейлера - приклади в логіці

Леонард Ейлер (1707-1783) - відомий швейцарський і російський математик, член Петербурзької академії наук, більшу частину життя прожив у Росії. Найбільш відомим в математичному аналізі, статистиці, інформатики та логіці вважається коло Ейлера (діаграма Ейлера-Венна), використовуваний для позначення обсягу понять і множин елементів.

Джон Венн (1834-1923) - англійський філософ і логік, співавтор діаграми Ейлера-Венна.

Сумісні і несумісні поняття

Під поняттям в логіці розуміється форма мислення, відбиває істотні ознаки класу однорідних предметів. Вони позначаються одним або групою слів: «карта світу», «доминантовая квінтсептаккорд», «Понеділок» та ін.

У разі коли елементи обсягу одного поняття повністю або частково належать обсягу іншого, говорять про сумісних поняттях. Якщо ж жоден елемент обсягу певного поняття не належить до обсягу іншого, ми маємо місце з несумісними поняттями.

кіл Ейлера

У свою чергу, кожний з видів понять має власний набір можливих відносин. Для сумісних понять це наступні:

• тотожність (рівнозначність) обсягів;
• перетин (частковий збіг) обсягів;
• підпорядкування (субординація).

Для несумісних:

• супідрядність (координація);
• протилежність (контрарность);
• протиріччя (Контрадикторні).

Схематично відносини між поняттями в логіці прийнято позначати за допомогою кіл Ейлера-Венна.

Відносини рівнозначності

В даному випадку поняття подразумевают один і той же предмет. Відповідно, обсяги даних понять повністю збігаються. Наприклад:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоаналізу.

кіл Ейлера приклади в логіці

Або:

А - квадрат;

В - рівносторонній прямокутник;

С - рівнокутний ромб.

Для позначення використовуються повністю збігаються кола Ейлера.

Перетин (частковий збіг)

У дану категорію входять поняття, що мають загальні елементи, що знаходяться в відношенні перехрещування. Тобто обсяг одного з понять частково входить в обсяг іншого:

А - педагог;

В - меломан.

кіл Ейлера Венна

Як видно з даного прикладу, обсяги понять частково збігаються: певна група педагогів може виявитися меломанами, і навпаки - серед меломанів можуть бути представники педагогічної професії. Аналогічне ставлення буде у випадку, коли в як поняття А виступає, наприклад, «городянин», а в якості В - «автоводії».

Підпорядкування (субординація)

Схематично позначаються як різні за масштабом кола Ейлера. Відносини між поняттями в даному випадку характеризуються тим, що підлегле поняття (менша за обсягом) повністю входить до складу підпорядковуючого (більшого за обсягом). При цьому підлегле поняття не вичерпує повністю підкоряє.

Наприклад:

А - дерево;

В - сосна.

руги Ейлера відносини між множинами

Поняття В буде підлеглим по відношенню до поняття А. Так як сосна відноситься до дерев, то поняття А стає в даному прикладі підкоряють, «поглинає» обсяг поняття В.

Супідрядність (координація)

Ставлення характеризує два і більше поняття, що виключають одне одного, але належать при цьому певного загальному пологовому колу. Наприклад:

А - кларнет;

В - гітара;

С - скрипка;

D - музичний інструмент.

кіл Ейлера безлічі

Поняття А, В, С не є пересічними по відношенню один до одного, тим не менше, всі вони відносяться до категорії музичних інструментів (поняття D).

Протилежність (контрарность)

Протилежні відносини між поняттями подразумевают віднесеність даних понять до одного і того ж роду. При цьому одне з понять має певні властивості (ознаками), у той час як інше їх заперечує, заміщаючи протилежними за характером. Таким чином, ми маємо справу з антонімами. Наприклад:

А - карлик;

В - велетень.

кіл Ейлера відносини між поняттями

Коло Ейлера при протилежних відносинах між поняттями розділяється на три сегменти, перший з яких відповідає поняттю А, другий - поняттю В, а третій - всім іншим можливим поняттям.

Протиріччя (Контрадикторні)

В даному випадку обидва поняття являють собою види одного і того ж роду. Як і в попередньому прикладі, одне з понять вказує на певні якості (ознаки), у той час як інше їх заперечує. Однак, на відміну від ставлення протилежності, друге, протилежне поняття, не замінює заперечуються властивості іншими, альтернативними. Наприклад:

А - складне завдання;

В - нескладне завдання (не- А).

кіл Ейлера перетин

Висловлюючи обсяг понять подібного роду, коло Ейлера розділяється на дві частини - третього, проміжної ланки в даному випадку не існує. Таким чином, поняття також є антонімами. При цьому один із них (А) стає позитивним (що стверджують будь-якої ознака), а друге (В або не- А) - негативним (заперечливим відповідний ознака): «білий папір» - «не біла папір», «вітчизняна історія» - «зарубіжна історія» і т. д.

Таким чином, співвідношення обсягів понять по відношенню один до одного є ключовою характеристикою, що визначає кола Ейлера.

Відносини між множинами

Також слід розрізняти поняття елементів і множини, обсяг яких відображають кола Ейлера. Поняття множини запозичене з математичної науки і має досить широке значення. Приклади в логіці і математиці відображають його як певну сукупність об'єктів. Самі ж об'єкти є елементами даної множини. «Безліч є багато чого, мислиме як єдине» (Георг Кантор, засновник теорії множин).

Позначення множин здійснюється великими літерами: А, В, С, D ... і т. Д., Елементів множин - малими: а, b, с, d ... та ін. Прикладами безлічі можуть бути студенти, що перебувають в одній аудиторії, книги, які стоять на певній полиці (або, наприклад, всі книги в будь-якої певної бібліотеці), сторінки в щоденнику, ягоди на лісовій галявині і т. д.

У свою чергу, якщо певне безліч не містить жодного елемента, то його називають порожнім і позначають знаком Oslash-. Наприклад, безліч точок перетину паралельних прямих, безліч рішень рівняння х² = -5.

Вирішення задач

Для вирішення великої кількості завдань активно використовуються кола Ейлера. Приклади в логіці наочно демонструють зв'язок логічних операцій з теорією множин. При цьому використовуються таблиці істинності понять. Наприклад, коло, позначений ім'ям А, являє собою область істинності. Таким чином, область поза колом представлятиме брехня. Щоб визначити область діаграми для логічної операції, слід заштрихувати області, визначають коло Ейлера, в яких її значення для елементів А і В будуть істинні.

Використання кіл Ейлера знайшло широке практичне застосування в різних галузях. Наприклад, у ситуації з професійним вибором. Якщо суб'єкт стурбований вибором майбутньої професії, він може керуватися наступними критеріями:

W - що я люблю робити?

D - що в мене виходить?

P - чим я зможу добре заробляти?

Зобразимо це у вигляді схеми: кола Ейлера (приклади в логіці - відношення перетину):

кіл Ейлера

Результатом стануть ті професії, які опиняться на перетині всіх трьох кіл.

Окреме місце кола Ейлера-Венна займають в математиці (теорія множин) при обчисленні комбінацій і властивостей. Кола Ейлера безлічі елементів укладені в зображенні прямокутника, що позначає універсальне безліч (U). Замість кіл також можуть використовуватися інші замкнуті фігури, але суть від цього не змінюється. Фігури перетинаються між собою, згідно з умовами задачі (у найбільш загальному випадку). Також дані фігури повинні бути позначені відповідним чином. В якості елементів розглянутих множин можуть виступати точки, розташовані всередині різних сегментів діаграми. На її основі можна заштрихувати конкретні області, позначивши тим самим новоутворені множини.

кіл Ейлера приклади в логіці

З даними множинами допустиме виконання основних математичних операцій: додавання (сума множин елементів), віднімання (різницю), множення (твір). Крім того, завдяки диаграммам Ейлера-Венна можна проводити операції порівняння множин по числу вхідних у них елементів, не рахуючи їх.