Раціональні числа та дії над ними
Поняття про числа відноситься до абстракцій, що характеризує об'єкт з кількісної точки зору. Ще в первісному суспільстві у людей виникла потреба в рахунку предметів, тому з'явилися чисельні позначення. Надалі вони стали основою математики як науки.
Щоб оперувати математичними поняттями, необхідно, насамперед, уявляти, які ж бувають числа. Основних видів чисел декілька. Це:
1. Натуральні - ті, які ми отримуємо при нумерації предметів (їх природному рахунку). Їх безліч позначають латинською літерою N.
2. Цілі (їх безліч позначається буквою Z). Сюди відносяться натуральні, протилежні їм цілі від'ємні числа і нуль.
3. Раціональні числа (буква Q). Це ті, які можливо представити у вигляді дробу, чисельник якої дорівнює цілому числу, а знаменник - натуральному. Всі цілі і натуральні числа ставляться до раціональних.
4. Дійсні (їх позначають буквою R). Вони включають в себе раціональні та ірраціональні числа. Ірраціональними називаються числа, отримані з раціональних шляхом різних операцій (обчислення логарифма, витяг кореня), самі не є раціональними.
Таким чином, будь-яке з перерахованих множин є підмножиною нижчепереліченого. Ілюстрацією цієї тези служить діаграма у вигляді т. Зв. кіл Ейлера. Малюнок являє собою кілька концентричних овалів, кожен з яких розташований усередині іншого. Внутрішній, самий малий за розміром овал (область) позначає безліч натуральних чисел. Його повністю охоплює і включає в себе область, символізує безліч цілих чисел, яка, в свою чергу, укладена всередині області раціональних чисел. Зовнішній, найбільший овал, що включає в себе всі інші, позначає масив дійсних чисел.
У даній статті ми розглянемо безліч раціональних чисел, їх властивості та особливості. Як уже згадувалося, до них належать всі існуючі числа (позитивні, а також негативні і нуль). Раціональні числа становлять нескінченний ряд, який має такі властивості:
- дане безліч впорядковано, тобто, взявши будь-яку пару чисел з цього ряду, ми завжди можемо дізнатися, яке з них більше-
- взявши будь-яку пару таких чисел, ми завжди можемо помістити між ними як мінімум ще одне, а, отже, і цілий ряд таких - таким чином, раціональні числа являють собою нескінченний ряд-
- всі чотири арифметичні дії над такими числами можливі, результатом їх завжди є певне число (також раціональне) - виняток становить ділення на 0 (нуль) - воно неможливо-
- будь-які раціональні числа можуть бути представлені у вигляді десяткових дробів. Ці дроби можуть бути або кінцевими, або нескінченними періодичними.
Щоб порівняти два числа, що відносяться до безлічі раціональних, необхідно пам'ятати:
- будь-яке позитивне число більше нуля-
- будь-яке негативне число завжди менше нуля-
- при порівнянні двох негативних раціональних чисел більше те з них, чия абсолютна величина (модуль) менше.
Як виробляються дії з раціональними числами?
Щоб скласти два таких числа, що мають однаковий знак, потрібно скласти їх абсолютні величини і поставити перед сумою загальний знак. Для додавання чисел з різними знаками слід з більшого значення відняти менше і поставити знак того з них, чиє абсолютне значення більше.
Для вирахування одного раціонального числа з іншого досить до першого числа додати протилежне другого. Для множення двох чисел потрібно перемножити значення їх абсолютних величин. Отриманий результат буде позитивним, якщо співмножники мають один і той же знак, і негативним, якщо різні.
Розподіл проводиться аналогічно, тобто знаходиться приватне абсолютних величин, а перед результатом ставиться знак «+» в разі збігу знаків діленого і дільника і знак «-» у разі їх неспівпадання.
Ступеня раціональних чисел виглядають як твори кількох співмножників, рівних між собою.