Історія тригонометрії: виникнення і розвиток

Історія тригонометрії нерозривно пов'язана з астрономією, адже саме для вирішення завдань цієї науки стародавні вчені стали досліджувати співвідношення різних величин в трикутнику.

На сьогоднішній день тригонометрія є мікроразделом математики, що вивчають залежність між значеннями величин кутів і довжин сторін трикутників, а також займаються аналізом алгебраїчних тотожностей тригонометричних функцій.

Термін «тригонометрія»

Сам термін, що дав назву цього розділу математики, вперше був виявлений в заголовку книги за авторством німецького вченого-математика Пітіскуса в 1505 році. Слово «тригонометрія» має грецьке походження і означає «вимірюю трикутник». Якщо бути точніше, то мова йде не про буквальне вимірі цієї фігури, а про її рішенні, тобто визначенні значень її невідомих елементів за допомогою відомих.

Загальні відомості про тригонометрії

Історія тригонометрії почалася більше двох тисячоліть тому. Спочатку її виникнення було пов'язане з необхідністю з'ясування співвідношень кутів і сторін трикутника. У процесі досліджень з'ясувалося, що математичний вираз даних співвідношень вимагає введення особливих тригонометричних функцій, які спочатку оформлялися як числові таблиці.

Для багатьох суміжних з математикою наук поштовхом до розвитку стала саме історія тригонометрії. Походження одиниць вимірювання кутів (градусів), пов'язане з дослідженнями вчених Стародавнього Вавилону, спирається на шестидесятиричную систему числення, яка дала початку сучасної десятиричное, що застосовується в багатьох прикладних науках.

Передбачається, що спочатку тригонометрія існувала як частина астрономії. Потім вона стала використовуватися в архітектурі. А згодом виникла доцільність застосування даної науки в різних областях людської діяльності. Це, зокрема, астрономія, морська і повітряна навігація, акустика, оптика, електроніка, архітектура та інші.

Тригонометрія в ранні століття

Керуючись даними про збереженим наукових реліквіях, дослідники зробили висновок, що історія виникнення тригонометрії пов'язана з роботами грецького астронома Гіппарха, який вперше задумався над пошуком способів вирішення трикутників (сферичних). Його праці відносяться до 2 століття до нашої ери.

Також одним з найважливіших досягнень тих часів є визначення співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутних трикутниках, яке пізніше отримало назву теореми Піфагора.

Історія розвитку тригонометрії в Стародавній Греції пов'язана з ім'ям астронома Птоломея – автора геоцентричної системи світу, що панувала до Коперника.

Грецьким астрономам не були відомі синуси, косинуси і тангенси. Вони користувалися таблицями, що дозволяють знайти значення хорди окружності з допомогою стягує дуги. Одиницями для вимірювання хорди були градуси, мінути і секунди. Один градус прирівнювався до шестидесятих частини радіусу.

Також дослідження стародавніх греків просунули розвиток сферичної тригонометрії. Зокрема, Евклід у своїх «Початках» наводить теорему про закономірності співвідношень обсягів куль різного діаметру. Його праці в цій галузі стали своєрідним поштовхом у розвитку ще й суміжних галузей знань. Це, зокрема, технологія астрономічних приладів, теорія картографічних проекцій, системи небесних координат і т. Д.

Середньовіччя: дослідження індійських учених

Значних успіхів досягли індійські середньовічні астрономи. Загибель античної науки в IV столітті зумовила переміщення центру розвитку математики в Індію.

Історія виникнення тригонометрії як відокремленого розділу математичного вчення почалася в Середньовіччі. Саме тоді вчені замінили хорди синусами. Це відкриття дозволило ввести функції, що стосуються дослідження сторін і кутів прямокутного трикутника. Тобто саме тоді тригонометрія початку відособлюватися від астрономії, перетворюючись на розділ математики.

Перші таблиці синусів були у Аріабхати, вони була проведені через 3^про, 4^про, 5^про. Пізніше з'явилися детальні варіанти таблиць: зокрема, Бхаськара привів таблицю синусів через 1^про.

Перший спеціалізований трактат з тригонометрії з'явився в X-XI столітті. Автором його був середньоазіатський учений Аль-Біруні. А в своїй головній праці «Канон Мас'уда» (книга III) середньовічний автор ще більш заглиблюється в тригонометрію, приводячи таблицю синусів (з кроком 15 ') і таблицю тангенсів (з кроком 1 °).

Історія розвитку тригонометрії в Європі

Після переведення арабських трактатів на латинь (XII-XIII в) більшість ідей індійських і перських вчених були запозичені європейською наукою. Перші згадки про тригонометрії в Європі відносяться до XII століття.

На думку дослідників, історія тригонометрії в Європі пов'язана з ім'ям англійця Річарда Уоллінгфордского, який став автором твору «Чотири трактату про прямих і звернених хордах». Саме його праця стала першою роботою, що цілком присвячена тригонометрії. До XV століття багато авторів у своїх працях згадують про тригонометричних функціях.

Історія тригонометрії: Новий час

У Новий час більшість учених почала усвідомлювати надзвичайну важливість тригонометрії не тільки в астрономії та астрології, а й в інших сферах життя. Це, в першу чергу, артилерія, оптика і навігація в далеких морських походах. Тому в другій половині XVI століття ця тема зацікавила багатьох видатних людей того часу, в тому числі Миколи Коперника, Йоганна Кеплера, Франсуа Вієта. Коперник відвів тригонометрії кілька глав свого трактату «Про обертання небесних сфер» (1543). Трохи пізніше, в 60-х роках XVI століття, Ретик – учень Коперника – приводить в своїй праці «Оптична частина астрономії» пятнадцатізначние тригонометричні таблиці.

Франсуа Вієт в «Математичному каноні» (1 579) дає грунтовну і систематичну, хоча і бездоказове, характеристику плоскою і сферичної тригонометрії. А Альбрехт Дюрер став тим, завдяки кому на світ з'явилася синусоїда.

Заслуги Леонарда Ейлера

Додання тригонометрії сучасного змісту і виду стало заслугою Леонарда Ейлера. Його трактат «Введення в аналіз нескінченних» (1748) містить визначення терміна «тригонометричні функції», яке еквівалентно сучасному. Таким чином, цей учений зміг визначити зворотні функції. Але й це ще не все.

Визначення тригонометричних функцій на всій числовій прямій стало можливим завдяки дослідженням Ейлера не тільки допустимих негативних кутів, але і кутів боле 360 °. Саме він у своїх роботах вперше довів, що косинус і тангенс прямого кута негативні. Розкладання цілих ступенів косинуса і синуса теж стало заслугою цього вченого. Загальна теорія тригонометричних рядів та вивчення збіжності отриманих рядів не були об'єктами досліджень Ейлера. Проте, працюючи над вирішенням суміжних завдань, він зробив багато відкриттів у цій галузі. Саме завдяки його роботам продовжилася історія тригонометрії. Коротко у своїх працях він стосувався і питань сферичної тригонометрії.

Області застосування тригонометрії

Тригонометрія не відноситься до прикладних наук, в реальному повсякденному житті її завдання рідко застосовуються. Однак цей факт не знижує її значущості. Дуже важлива, наприклад, техніка тріангуляції, яка дозволяє астрономам досить точно виміряти відстань до недалеких зірок і здійснювати контроль за системами навігації супутників.

Також тригонометрію застосовують в навігації, теорії музики, акустиці, оптиці, аналізі фінансових ринків, електроніці, теорії ймовірностей, статистикою, біології, медицині (наприклад, в розшифровці ультразвукових досліджень УЗД і комп'ютерної томографії), фармацевтиці, хімії, теорії чисел, сейсмологів, метеорології , океанології, картографії, багатьох розділах фізики, топографії та геодезії, архітектурі, фонетиці, економіці, електронній техніці, машинобудуванні, комп'ютерній графіці, кристалографії і т. д. Історія тригонометрії та її роль у вивченні природничо-математичних наук вивчаються і донині. Можливо, в майбутньому областей її застосування стане ще більше.

Історія походження основних понять

Історія виникнення і розвитку тригонометрії налічує не одне століття. Введення понять, які складають основу цього розділу математичної науки, також не було одномоментним.

Так, поняття «синус» має дуже довгу історію. Згадки про різних відносинах відрізків трикутників і кіл виявляються ще в наукових працях, датованих III століттям до нашої ери. Роботи таких великих древніх учених, як Евклід, Архімед, Аполону Пергський, вже містять перші дослідження цих співвідношень. Нові відкриття вимагали певних термінологічних уточнень. Так, індійський вчений Аріабхата дає хорді назву «джива», що означає «тятива лука». Коли арабські математичні тексти перекладалися на латину, термін замінили близьким за значенням синусом (т. Е. «Вигин»).

Слово «косинус» з'явилося набагато пізніше. Цей термін є скороченим варіантом латинської фрази «додатковий синус».

Виникнення тангенсів пов'язано з розшифровкою задачі визначення довжини тіні. Термін «тангенс» ввів в X столітті арабський математик Абу-ль-Вафа, що склав перший таблиці для визначення тангенсів і котангенсів. Але європейські вчені не знали про ці досягнення. Німецький математик і астроном Регімонтан заново відкриває ці поняття в 1467 Доказ теореми тангенсів – його заслуга. А перекладається цей термін як «що стосується».